Bài 1

Xuyên hầm proton. Xuyên hầm proton qua hàng rào thế xảy ra trong nhiều hệ có liên kết hydro (DNA, protein). Propanedial (malonaldehyde) là một trong những phân tử đơn giản nhất có chuyển proton nội phân tử. (1.1) Viết công thức thu gọn của propanedial và cấu trúc của hai đồng phân tồn tại cân bằng với nó. (1.2) Trong dung dịch nước propanedial là axit yếu cỡ axit axetic. Chỉ ra nguyên tử H axit và giải thích tính axit của nó. Đường thế năng chuyển proton có dạng hai giếng đối xứng với hai cực tiểu cách nhau

d = 0.06

nm. (1.3) Vẽ các cấu trúc tương ứng với hai cực tiểu này. Proton dao động giữa hai giếng L và R với tần số góc

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

. Mật độ xác suất là

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

với

\Psi_L, \Psi_R

mô tả proton định xứ ở giếng trái và phải. (1.4) Viết biểu thức mật độ xác suất ở

t = 0

t = \pi/(2\omega)

và

t = \pi/\omega

. (1.5) Không cần tính toán, hãy xác định xác suất tìm thấy proton ở giếng trái lúc

t = \pi/(2\omega)

. (1.6) Cần bao nhiêu thời gian để proton chuyển từ giếng này sang giếng kia? Tốc độ trung bình trong quá trình chuyển là bao nhiêu? (1.7) Ước tính độ bất định vị trí

\Delta x

từ hai giếng thế và tính độ bất định tốc độ tối thiểu

\Delta v

theo hệ thức Heisenberg

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

; so sánh với tốc độ cổ điển từ (1.6) và rút ra kết luận.

Bước 2/4: Mật độ xác suất theo thời gian

← Trước Tiếp →

\Psi^2(x,0) = \Psi_L^2(x);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}(\Psi_L^2 + \Psi_R^2);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{\omega}\right) = \Psi_R^2(x);\quad P_L\left(\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}

Phân tích

Thay $\cos(0) = 1$ , $\cos(\pi/2) = 0$ và $\cos(\pi) = -1$ được: tại $t = 0$ proton định xứ ở giếng trái; tại $t = \pi/(2\omega)$ proton phi xứ đều giữa hai giếng ( $P_L = 1/2$ do tính đối xứng); tại $t = \pi/\omega$ định xứ ở giếng phải.