Chemistry Labs

第 1 题

碳元素由稳定同位素 X12X2212C\ce{^{12}C}（占原子的98.90 %）和 X13X2213C\ce{^{13}C}（1.10 %）组成。此外碳还含有少量放射性同位素 X14X2214C\ce{^{14}C}（t1/2=5730t_{1/2} = 5730 年），它由宇宙射线在大气中以 COX2\ce{CO2} 形式不断生成，并通过自然 COX2\ce{CO2} 循环与稳定同位素混合。X14X2214C\ce{^{14}C} 的衰变速率为 −dN/dt=λN-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N（N为 X14X2214C\ce{^{14}C} 原子数），积分得 N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t}。1.1 λ\lambda 与 t1/2t_{1/2} 的数学关系是什么？1.2 参与自然 COX2\ce{CO2} 循环的碳衰变速率为每克碳每分钟13.6次衰变。植物死亡后脱离 COX2\ce{CO2} 循环，其衰变速率随之下降。1983年测得一块维京船木材的衰变速率为每克每分钟12.0次。这棵树是哪年被砍伐的？1.3 测量速率误差为每克每分钟0.2次，对应的年代误差是多少？1.4 参与自然 COX2\ce{CO2} 循环的碳其 X12X2212C/X14X2214C\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C} 同位素比是多少（1年 = 365天）？
第 1/5 步：由半衰期求衰变常数
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N0/2=N0e−λt1/2  ⇒  λ=ln⁡2t1/2=0.6935730 yrN_0/2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \;\Rightarrow\; \lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0.693}{5730\ \text{yr}}
分析

将 t=t1/2t = t_{1/2} 时 N=N0/2N = N_0/2 代入积分定律得 e−λt1/2=1/2e^{-\lambda t_{1/2}} = 1/2，故 λ=ln⁡2/t1/2=1.21×10−4\lambda = \ln 2 / t_{1/2} = 1.21\times 10^{-4} yr−1^{-1}。