Chemistry Labs

第 1 题

碳元素由稳定同位素 X12X2212C\ce{^{12}C}（占原子的98.90 %）和 X13X2213C\ce{^{13}C}（1.10 %）组成。此外碳还含有少量放射性同位素 X14X2214C\ce{^{14}C}（t1/2=5730t_{1/2} = 5730 年），它由宇宙射线在大气中以 COX2\ce{CO2} 形式不断生成，并通过自然 COX2\ce{CO2} 循环与稳定同位素混合。X14X2214C\ce{^{14}C} 的衰变速率为 −dN/dt=λN-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N（N为 X14X2214C\ce{^{14}C} 原子数），积分得 N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t}。1.1 λ\lambda 与 t1/2t_{1/2} 的数学关系是什么？1.2 参与自然 COX2\ce{CO2} 循环的碳衰变速率为每克碳每分钟13.6次衰变。植物死亡后脱离 COX2\ce{CO2} 循环，其衰变速率随之下降。1983年测得一块维京船木材的衰变速率为每克每分钟12.0次。这棵树是哪年被砍伐的？1.3 测量速率误差为每克每分钟0.2次，对应的年代误差是多少？1.4 参与自然 COX2\ce{CO2} 循环的碳其 X12X2212C/X14X2214C\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C} 同位素比是多少（1年 = 365天）？
第 2/5 步：木材的年代
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直观理解

活度与N成正比，故活度比直接给出已经过的衰变时间。

t=t1/2ln⁡2ln⁡A0A=57300.693ln⁡13.612.0=1035 yr  ⇒  cut in 1983−1035≈948t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{5730}{0.693}\ln\dfrac{13.6}{12.0} = 1035\ \text{yr}\;\Rightarrow\;\text{cut in } 1983 - 1035 \approx 948
分析

因 A=λNA = \lambda N，比值 A0/A=13.6/12.0A_0/A = 13.6/12.0 等于 N0/N=eλtN_0/N = e^{\lambda t}；解得 t=(t1/2/ln⁡2)ln⁡(13.6/12.0)=1035t = (t_{1/2}/\ln 2)\ln(13.6/12.0) = 1035 年，故树木约在公元 1983−1035=9481983 - 1035 = 948 年被砍伐。