第 1 题

碳元素由稳定同位素

\ce{^{12}C}

（占原子的98.90 %）和

\ce{^{13}C}

（1.10 %）组成。此外碳还含有少量放射性同位素

\ce{^{14}C}

（

t_{1/2} = 5730

年），它由宇宙射线在大气中以

\ce{CO2}

形式不断生成，并通过自然

\ce{CO2}

循环与稳定同位素混合。

\ce{^{14}C}

的衰变速率为

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

（N为

\ce{^{14}C}

原子数），积分得

N = N_0\,e^{-\lambda t}

。1.1

\lambda

与

t_{1/2}

的数学关系是什么？1.2 参与自然

\ce{CO2}

循环的碳衰变速率为每克碳每分钟13.6次衰变。植物死亡后脱离

\ce{CO2}

循环，其衰变速率随之下降。1983年测得一块维京船木材的衰变速率为每克每分钟12.0次。这棵树是哪年被砍伐的？1.3 测量速率误差为每克每分钟0.2次，对应的年代误差是多少？1.4 参与自然

\ce{CO2}

循环的碳其

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

同位素比是多少（1年 = 365天）？

第 3/5 步：误差传播

t = \dfrac{5730}{0.693}\ln\dfrac{13.6}{12.0 \pm 0.2} \;\Rightarrow\; t = 1035\ {}^{+139}_{-137}\ \text{yr}

分析

在测量速率的两端求年代： $A = 12.2$ 得 $t = 898$ 年， $A = 11.8$ 得 $t = 1174$ 年；故年代为 $1035\ {}^{+139}_{-137}$ 年——由于年代对 $1/A$ 呈对数依赖，不确定度不对称。