第 1 题

质子隧穿。穿越势垒的质子隧穿效应存在于许多含氢键的体系中（DNA、蛋白质等）。丙二醛是发生分子内质子转移的最简单分子之一。(1.1) 写出丙二醛的结构简式以及与其平衡共存的两种异构体的结构。(1.2) 在水溶液中丙二醛是弱酸，强度与乙酸相当。指出酸性氢原子并解释其酸性原因。分子内质子转移的能量曲线呈对称的双势阱形式，两极小值间距为

d = 0.06

nm。(1.3) 写出对应于两个极小值的结构。质子在左右势阱 L 与 R 之间以角频率

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

振荡。概率密度为

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

。(1.4) 写出

t = 0

、

t = \pi/(2\omega)

和

t = \pi/\omega

时的概率密度表达式。(1.5) 不做计算，确定

t = \pi/(2\omega)

时质子在左势阱中出现的概率。(1.6) 质子从一个势阱移动到另一个势阱需要多少时间？转移过程中的平均速率是多少？(1.7) 由双势阱估算质子位置不确定度

\Delta x

，并利用 Heisenberg 不确定性关系

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

计算速度的最小不确定度

\Delta v

；与 (1.6) 的经典速率比较并得出结论。

第 2/4 步：含时概率密度

← 上一步下一步 →

\Psi^2(x,0) = \Psi_L^2(x);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}(\Psi_L^2 + \Psi_R^2);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{\omega}\right) = \Psi_R^2(x);\quad P_L\left(\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}

分析

代入 $\cos(0) = 1$ 、 $\cos(\pi/2) = 0$ 和 $\cos(\pi) = -1$ 得： $t = 0$ 时质子局域在左阱； $t = \pi/(2\omega)$ 时对称离域于两阱之间（由对称性 $P_L = 1/2$ ）； $t = \pi/\omega$ 时局域在右阱。