第 1 题

质子隧穿。穿越势垒的质子隧穿效应存在于许多含氢键的体系中（DNA、蛋白质等）。丙二醛是发生分子内质子转移的最简单分子之一。(1.1) 写出丙二醛的结构简式以及与其平衡共存的两种异构体的结构。(1.2) 在水溶液中丙二醛是弱酸，强度与乙酸相当。指出酸性氢原子并解释其酸性原因。分子内质子转移的能量曲线呈对称的双势阱形式，两极小值间距为

d = 0.06

nm。(1.3) 写出对应于两个极小值的结构。质子在左右势阱 L 与 R 之间以角频率

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

振荡。概率密度为

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

。(1.4) 写出

t = 0

、

t = \pi/(2\omega)

和

t = \pi/\omega

时的概率密度表达式。(1.5) 不做计算，确定

t = \pi/(2\omega)

时质子在左势阱中出现的概率。(1.6) 质子从一个势阱移动到另一个势阱需要多少时间？转移过程中的平均速率是多少？(1.7) 由双势阱估算质子位置不确定度

\Delta x

，并利用 Heisenberg 不确定性关系

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

计算速度的最小不确定度

\Delta v

；与 (1.6) 的经典速率比较并得出结论。

第 4/4 步：Heisenberg 不确定性证明量子隧穿

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\Delta x \approx 0.03\ \text{nm};\quad \Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m_p\Delta x} = \frac{1.055\times10^{-34}}{2(1.67\times10^{-27})(0.03\times10^{-9})} \approx 1000\ \text{m s}^{-1} \gg v_{\text{mean}} = 12\ \text{m s}^{-1}

分析

单个势阱内的位置不确定度约为 $\Delta x \approx d/2 = 0.03$ nm。由 Heisenberg 不确定性原理，速度不确定度 $\Delta v \ge \hbar/(2m_p\Delta x) \approx 1000$ m s $^{-1}$ ，比经典转移速率 12 m s $^{-1}$ 大近两个数量级。穿越势垒过程中的经典轨道和速度概念在此失去物理意义：转移是纯粹的量子隧穿。