Bài 1

Hạt trong hộp: polyene. Trong cơ học lượng tử, chuyển động của electron π dọc theo chuỗi nguyên tử cacbon liên hợp trung hòa có thể mô phỏng bằng mô hình 'hạt trong hộp'. Năng lượng của electron π là

E_n = \dfrac{n^2 h^2}{8 m L^2}

, với

n

là số lượng tử (

n = 1, 2, 3, \dots

h

là hằng số Planck,

m

là khối lượng electron, và

L

là chiều dài hộp, xấp xỉ bằng

L = (k + 2) \times 1.40\ \text{Å}

(

k

là số liên kết đôi liên hợp). Photon bước sóng

\lambda

có thể kích thích electron π từ HOMO lên LUMO. Công thức bán kinh nghiệm liên hệ

\lambda

với

k

\lambda = B \times \dfrac{(k+2)^2}{2k+1}

(Phương trình 1). (a) Dùng Phương trình 1 với

B = 65.01

nm, tính

\lambda

của octatetraene

\ce{CH2=CH-CH=CH-CH=CH-CH=CH2}

. (b) Suy ra Phương trình 1 từ biểu thức hạt trong hộp và tính giá trị lý thuyết

B_{\text{calc}}

. (c) Xác định số liên kết đôi liên hợp

k

và viết cấu tạo của polyene có bước sóng kích thích HOMO–LUMO

\lambda = 600

nm. (d) Tính hiệu năng lượng HOMO–LUMO

\Delta E

(kJ mol

^{-1}

) của polyene đó.

Bước 2/4: Suy ra Phương trình 1 và

B_{\text{calc}}

← Trước Tiếp →

\Delta E = \dfrac{(k+1)^2 - k^2}{8mL^2}h^2 = \dfrac{(2k+1)h^2}{8mL^2} = \dfrac{hc}{\lambda} \;\Rightarrow\; \lambda = \dfrac{8mc(1.40\ \text{Å})^2}{h}\cdot\dfrac{(k+2)^2}{2k+1} \Rightarrow B_{\text{calc}} = 64.6\ \text{nm}

Phân tích

Polyene với $k$ liên kết đôi có $2k$ electron π lấp đầy các mức $n = 1..k$ , nên HOMO là $n = k$ và LUMO là $n = k+1$ . Khe năng lượng là $(2k+1)h^2/(8mL^2)$ ; cho bằng $hc/\lambda$ với $L = (k+2)\times1.40$ Å thu được Phương trình 1 với $B_{\text{calc}} = 8mc(1.40\ \text{Å})^2/h = 64.6$ nm, gần giá trị thực nghiệm 65.01 nm.