Problème 1

Effet tunnel du proton. L'effet tunnel à travers des barrières d'énergie intervient dans de nombreuses espèces à liaisons hydrogène (ADN, protéines). Le propanedial (malonaldéhyde) est l'une des molécules les plus simples présentant un transfert intramoléculaire de proton. (1.1) Donner la formule condensée du propanedial et deux de ses isomères en équilibre. (1.2) En solution aqueuse, le propanedial est un acide faible voisin de l'acide acétique. Préciser l'hydrogène acide et expliquer son acidité. Le profil d'énergie du transfert présente un double puits symétrique à minima séparés de

d = 0.06

nm. (1.3) Donner les structures correspondant aux deux minima. Le proton oscille entre L et R à la pulsation

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

. La densité de probabilité est

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

. (1.4) Écrire la densité de probabilité à

t = 0

t = \pi/(2\omega)

t = \pi/\omega

. (1.5) Sans calcul, donner la probabilité de trouver le proton dans le puits gauche à

t = \pi/(2\omega)

. (1.6) Combien de temps faut-il pour passer d'un puits à l'autre ? Quelle est la vitesse moyenne pendant le transfert ? (1.7) Estimer l'incertitude de position

\Delta x

et calculer l'incertitude minimale sur la vitesse

\Delta v

via

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

; comparer à la vitesse classique de (1.6) et conclure.

Étape 2 sur 4 : Densités de probabilité dépendantes du temps

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\Psi^2(x,0) = \Psi_L^2(x);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}(\Psi_L^2 + \Psi_R^2);\quad \Psi^2\left(x,\frac{\pi}{\omega}\right) = \Psi_R^2(x);\quad P_L\left(\frac{\pi}{2\omega}\right) = \frac{1}{2}

Analyse

En substituant $\cos(0) = 1$ , $\cos(\pi/2) = 0$ et $\cos(\pi) = -1$ : à $t = 0$ le proton est dans le puits gauche ; à $t = \pi/(2\omega)$ il est délocalisé à égalité ( $P_L = 1/2$ par symétrie) ; à $t = \pi/\omega$ il est dans le puits droit.