Problème 1

Effet tunnel du proton. L'effet tunnel à travers des barrières d'énergie intervient dans de nombreuses espèces à liaisons hydrogène (ADN, protéines). Le propanedial (malonaldéhyde) est l'une des molécules les plus simples présentant un transfert intramoléculaire de proton. (1.1) Donner la formule condensée du propanedial et deux de ses isomères en équilibre. (1.2) En solution aqueuse, le propanedial est un acide faible voisin de l'acide acétique. Préciser l'hydrogène acide et expliquer son acidité. Le profil d'énergie du transfert présente un double puits symétrique à minima séparés de

d = 0.06

nm. (1.3) Donner les structures correspondant aux deux minima. Le proton oscille entre L et R à la pulsation

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

. La densité de probabilité est

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

. (1.4) Écrire la densité de probabilité à

t = 0

t = \pi/(2\omega)

t = \pi/\omega

. (1.5) Sans calcul, donner la probabilité de trouver le proton dans le puits gauche à

t = \pi/(2\omega)

. (1.6) Combien de temps faut-il pour passer d'un puits à l'autre ? Quelle est la vitesse moyenne pendant le transfert ? (1.7) Estimer l'incertitude de position

\Delta x

et calculer l'incertitude minimale sur la vitesse

\Delta v

via

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

; comparer à la vitesse classique de (1.6) et conclure.

Étape 4 sur 4 : L'incertitude d'Heisenberg prouve l'effet tunnel

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\Delta x \approx 0.03\ \text{nm};\quad \Delta v \ge \frac{\hbar}{2 m_p\Delta x} = \frac{1.055\times10^{-34}}{2(1.67\times10^{-27})(0.03\times10^{-9})} \approx 1000\ \text{m s}^{-1} \gg v_{\text{mean}} = 12\ \text{m s}^{-1}

Analyse

L'incertitude de position dans un puits est $\Delta x \approx d/2 = 0.03$ nm. Le principe d'Heisenberg impose $\Delta v \ge \hbar/(2m_p\Delta x) \approx 1000$ m s $^{-1}$ , presque deux ordres de grandeur au-dessus de la vitesse classique de 12 m s $^{-1}$ . La notion de trajectoire ou de vitesse classique à travers la barrière est dénuée de sens : le transfert relève exclusivement de l'effet tunnel quantique.