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Problème 4

Les balles de tennis sont surpressurisées pour bien rebondir ; les anciennes balles creuses contenaient simplement de l'air à pression atmosphérique. On suppose un rayon intérieur R=3,0R = 3,0 cm constant pendant la pressurisation, un air à 20 % O2 et 80 % N2 en volume, et que la surpression ne dilate pas la balle. (a) Calculer la masse mm d'air dans une ancienne balle à T0=25T_0 = 25 °C. (b) Les balles modernes sont conditionnées à p0=1,80p_0 = 1,80 atm ; les balles premium contiennent du N2 pur. Une fois la boîte ouverte, le gaz diffuse vers l'extérieur jusqu'à la pression atmosphérique, sans diffusion vers l'intérieur ; le processus est du premier ordre en surpression. Les balles premium tombent à p1=1,40p_1 = 1,40 atm après t1=241t_1 = 241 h et à p2=1,19p_2 = 1,19 atm après environ t2=21t_2 = 21 jours à 25 °C. Montrer le comportement de premier ordre et calculer la constante de dépressurisation kN2k_{\mathrm{N_2}} en h−1^{-1}. (c) La vitesse initiale de dépressurisation des balles ordinaires (air) est 10 % plus rapide que celle des balles premium ; calculer kO2k_{\mathrm{O_2}} en supposant les vitesses additives. (d) Des balles premium neuves, fabriquées et mises en boîte à 25 °C, sont ouvertes et portées rapidement à T=30,0T = 30,0 °C ; le match commence t=12,0t = 12,0 h plus tard. Avec Ea=50,0E_a = 50,0 kJ mol−1^{-1}, calculer la pression des balles au début du match.
Étape 4 sur 4 : Pression au match
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pstart=1+(1.80303.15298.15−1)e−k(303.15) t=1.74 atmp_{\text{start}} = 1 + \left(1.80\dfrac{303.15}{298.15} - 1\right)e^{-k(303.15)\,t} = 1.74\ \text{atm}
Analyse

Trois corrections se combinent : (i) le passage à 303.15 K porte la pression initiale à 1.80×303.15/298.15=1.831.80\times 303.15/298.15 = 1.83 atm ; (ii) Arrhenius porte la constante à k(303.15)=2.88×10−3exp⁡[500008.314(1298.15−1303.15)]≈4.0×10−3k(303.15) = 2.88\times 10^{-3}\exp[\frac{50000}{8.314}(\tfrac{1}{298.15}-\tfrac{1}{303.15})] \approx 4.0\times 10^{-3} h−1^{-1} ; (iii) après 12 h la surpression décroît : p=1+0.83 e−4.0×10−3×12≈1.74p = 1 + 0.83\,e^{-4.0\times 10^{-3}\times 12} \approx 1.74 atm.