Problème 2

L'astate est l'élément naturel le plus rare de la croûte terrestre, avec une masse totale estimée à 30 g à tout instant ; on suppose qu'il s'agit entièrement de l'isotope

^{219}

At. (a) Estimer le nombre d'atomes d'At présents naturellement sur Terre à un instant donné. (b) Le bismuth, sous-produit du raffinage du plomb, est concentré en ajoutant Mg et Ca au mélange Pb–Bi ; le bismuth forme l'alliage A contenant 7,91 % de Ca et 9,60 % de Mg en masse, sans plomb. Déterminer la formule empirique de l'alliage A. (c) L'alliage A réagit avec

\ce{Cl2}

pour former du bismuth et deux composés ioniques B et C dans un rapport 2:1. Écrire les formules de B et C. (d) L'astate est produit en bombardant

^{209}_{83}

Bi avec des particules

\alpha

; les noyaux fusionnent en

^{x}_{y}

At plus deux neutrons. Donner les nombres de masse et atomique de l'isotope. (e) Le bismuth excédentaire est éliminé par l'acide nitrique concentré, formant du nitrate de bismuth(III), de l'eau et un gaz incolore de masse molaire 30,01 g mol

^{-1}

. Écrire l'équation. (f) BrAt est préparé en deux étapes :

\ce{Br2}

réagit avec D pour ne donner que E, puis E réagit avec

\ce{At2}

pour donner BrAt et D ; le spectre de masse de E montre deux pics majeurs d'intensité quasi égale à m/z 205,82 et 207,82. Donner les formules de D et E. (g) On synthétise 3,60 g de BrAt ; la demi-vie de cet isotope est de 433 minutes. Au bout de combien de temps (heure entière la plus proche) ne reste-t-il que 3,65 mg de BrAt ?

Étape 5 sur 5 : Décroissance exponentielle

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t = \frac{433\ \text{min}}{\ln 2} \times \ln\!\frac{3600}{3.65} = 433\ \text{min} \times \frac{\ln 986.3}{\ln 2} \approx 4308\ \text{min} \approx 72\ \text{h}

Analyse

$m/m_0 = 3{,}65/3600 = (1/2)^{t/t_{1/2}}$ , donc $t = 433 \times \log_2(986{,}3) \approx 4307$ min ≈ 72 h.

Erreur fréquente. Le rapport des masses suffit car la masse molaire de BrAt s'élimine ; convertir d'abord 3,60 g en 3600 mg.