Problème 1

Le carbone est constitué des isotopes stables

\ce{^{12}C}

(98,90 % des atomes) et

\ce{^{13}C}

(1,10 %). Il contient en outre une faible fraction du radioisotope

\ce{^{14}C}

(

t_{1/2} = 5730

ans), formé en continu dans l'atmosphère par les rayons cosmiques sous forme de

\ce{CO2}

et mélangé aux isotopes stables par le cycle naturel du

\ce{CO2}

. Le taux de désintégration du

\ce{^{14}C}

suit

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

(N = nombre d'atomes de

\ce{^{14}C}

), dont l'intégration donne

N = N_0\,e^{-\lambda t}

. 1.1 Quelle est la relation mathématique entre

\lambda

t_{1/2}

? 1.2 Le taux de désintégration du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

est de 13,6 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Quand une plante meurt, elle quitte le cycle du

\ce{CO2}

et son taux décroît. En 1983, on a mesuré 12,0 désintégrations par minute et par gramme pour un morceau de bois d'un navire viking. En quelle année l'arbre a-t-il été abattu ? 1.3 L'erreur sur le taux mesuré est de 0,2 désintégration par minute et par gramme. Quelle est l'erreur correspondante sur l'âge ? 1.4 Quel est le rapport isotopique

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

(1 an = 365 jours) ?

Étape 1 sur 5 : Constante de désintégration à partir de la demi-vie

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N_0/2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \;\Rightarrow\; \lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0.693}{5730\ \text{yr}}

Analyse

En posant $N = N_0/2$ à $t = t_{1/2}$ dans la loi intégrée, $e^{-\lambda t_{1/2}} = 1/2$ , d'où $\lambda = \ln 2 / t_{1/2} = 1.21\times 10^{-4}$ an $^{-1}$ .