Problème 1

Le carbone est constitué des isotopes stables

\ce{^{12}C}

(98,90 % des atomes) et

\ce{^{13}C}

(1,10 %). Il contient en outre une faible fraction du radioisotope

\ce{^{14}C}

(

t_{1/2} = 5730

ans), formé en continu dans l'atmosphère par les rayons cosmiques sous forme de

\ce{CO2}

et mélangé aux isotopes stables par le cycle naturel du

\ce{CO2}

. Le taux de désintégration du

\ce{^{14}C}

suit

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

(N = nombre d'atomes de

\ce{^{14}C}

), dont l'intégration donne

N = N_0\,e^{-\lambda t}

. 1.1 Quelle est la relation mathématique entre

\lambda

t_{1/2}

? 1.2 Le taux de désintégration du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

est de 13,6 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Quand une plante meurt, elle quitte le cycle du

\ce{CO2}

et son taux décroît. En 1983, on a mesuré 12,0 désintégrations par minute et par gramme pour un morceau de bois d'un navire viking. En quelle année l'arbre a-t-il été abattu ? 1.3 L'erreur sur le taux mesuré est de 0,2 désintégration par minute et par gramme. Quelle est l'erreur correspondante sur l'âge ? 1.4 Quel est le rapport isotopique

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

(1 an = 365 jours) ?

Étape 2 sur 5 : Âge du bois

← Précédent Suivant →

Intuition

L'activité est proportionnelle à N, donc le rapport d'activités donne directement le temps de décroissance écoulé.

t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{5730}{0.693}\ln\dfrac{13.6}{12.0} = 1035\ \text{yr}\;\Rightarrow\;\text{cut in } 1983 - 1035 \approx 948

Analyse

Comme $A = \lambda N$ , le rapport $A_0/A = 13.6/12.0$ vaut $N_0/N = e^{\lambda t}$ ; on obtient $t = (t_{1/2}/\ln 2)\ln(13.6/12.0) = 1035$ ans, donc l'arbre a été abattu vers $1983 - 1035 = 948$ apr. J.-C.