Problème 1

Le carbone est constitué des isotopes stables

\ce{^{12}C}

(98,90 % des atomes) et

\ce{^{13}C}

(1,10 %). Il contient en outre une faible fraction du radioisotope

\ce{^{14}C}

(

t_{1/2} = 5730

ans), formé en continu dans l'atmosphère par les rayons cosmiques sous forme de

\ce{CO2}

et mélangé aux isotopes stables par le cycle naturel du

\ce{CO2}

. Le taux de désintégration du

\ce{^{14}C}

suit

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

(N = nombre d'atomes de

\ce{^{14}C}

), dont l'intégration donne

N = N_0\,e^{-\lambda t}

. 1.1 Quelle est la relation mathématique entre

\lambda

t_{1/2}

? 1.2 Le taux de désintégration du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

est de 13,6 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Quand une plante meurt, elle quitte le cycle du

\ce{CO2}

et son taux décroît. En 1983, on a mesuré 12,0 désintégrations par minute et par gramme pour un morceau de bois d'un navire viking. En quelle année l'arbre a-t-il été abattu ? 1.3 L'erreur sur le taux mesuré est de 0,2 désintégration par minute et par gramme. Quelle est l'erreur correspondante sur l'âge ? 1.4 Quel est le rapport isotopique

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

du carbone participant au cycle naturel du

\ce{CO2}

(1 an = 365 jours) ?

Étape 4 sur 5 : Atomes de 14C par gramme

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N(\ce{^{14}C}) = \dfrac{A}{\lambda} = \dfrac{13.6 \times 365 \times 24 \times 60 \times 5730}{0.693} = 5.91\times 10^{10}\ \text{atoms g}^{-1}

Analyse

Le carbone vivant en régime stationnaire vérifie $A = \lambda N$ , donc $N(\ce{^{14}C}) = A/\lambda$ avec $A$ converti en désintégrations par an : $13.6\ \text{min}^{-1} \times 525600\ \text{min an}^{-1} = 7.148\times 10^{6}$ an $^{-1}$ , divisé par $\lambda = 1.21\times 10^{-4}$ an $^{-1}$ donne $5.91\times 10^{10}$ atomes par gramme de carbone.