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Problème 1

Le nombre d'Avogadro. Des gouttelettes d'eau sphériques sont dispersées dans de l'argon gazeux. À 27 ∘C27\ ^\circ\mathrm{C}, chaque gouttelette a un diamètre de 1.0 μ\mum et subit des collisions avec l'argon ; on néglige les collisions entre gouttelettes. La vitesse quadratique moyenne des gouttelettes est de 0.50 cm s−10.50\ \mathrm{cm\ s^{-1}} à 27 ∘C27\ ^\circ\mathrm{C}. La masse volumique de l'eau est 1.0 g cm−3^{-3}. (1.1) Calculer l'énergie cinétique moyenne (mv2/2m v^2/2) de cette gouttelette à 27 ∘C27\ ^\circ\mathrm{C}. Le volume d'une sphère vaut 43πr3\frac{4}{3}\pi r^3. Si la température varie, la taille et la vitesse des gouttelettes changent aussi. L'énergie cinétique moyenne entre 0 ∘C0\ ^\circ\mathrm{C} et 100 ∘C100\ ^\circ\mathrm{C} est linéaire en fonction de la température ; on suppose qu'elle reste linéaire en dessous de 0 ∘C0\ ^\circ\mathrm{C} et s'annule au zéro absolu (−273 ∘C-273\ ^\circ\mathrm{C}). À l'équilibre thermique, l'énergie cinétique moyenne est identique quelle que soit la masse de la particule (théorème d'équipartition). La capacité thermique massique à volume constant de l'argon (masse atomique 40) est 0.31 J g−1 K−10.31\ \mathrm{J\ g^{-1}\ K^{-1}}. (1.2) Calculer le nombre d'Avogadro sans utiliser la loi des gaz parfaits, la constante des gaz ni la constante de Boltzmann.
Étape 1 sur 4 : Masse d'une gouttelette d'eau
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m=43πr3ρ=43π(0.5×10−6 m)3(1.0×103 kg m−3)=5.2×10−16 kgm = \tfrac{4}{3}\pi r^3 \rho = \tfrac{4}{3}\pi (0.5\times10^{-6}\ \text{m})^3(1.0\times10^3\ \text{kg m}^{-3}) = 5.2\times10^{-16}\ \text{kg}
Analyse

Le rayon vaut 0.50 μm=0.50×10−60.50\ \mu\text{m} = 0.50\times10^{-6} m ; le volume vaut 43πr3=5.24×10−19\frac{4}{3}\pi r^3 = 5.24\times10^{-19} m3^3 et la masse volumique 1000 kg m−3^{-3}, d'où m=5.2×10−16m = 5.2\times10^{-16} kg.