Problème 1

Le nombre d'Avogadro. Des gouttelettes d'eau sphériques sont dispersées dans de l'argon gazeux. À

27\ ^\circ\mathrm{C}

, chaque gouttelette a un diamètre de 1.0

\mu

m et subit des collisions avec l'argon ; on néglige les collisions entre gouttelettes. La vitesse quadratique moyenne des gouttelettes est de

0.50\ \mathrm{cm\ s^{-1}}

27\ ^\circ\mathrm{C}

. La masse volumique de l'eau est 1.0 g cm

^{-3}

. (1.1) Calculer l'énergie cinétique moyenne (

m v^2/2

) de cette gouttelette à

27\ ^\circ\mathrm{C}

. Le volume d'une sphère vaut

\frac{4}{3}\pi r^3

. Si la température varie, la taille et la vitesse des gouttelettes changent aussi. L'énergie cinétique moyenne entre

0\ ^\circ\mathrm{C}

100\ ^\circ\mathrm{C}

est linéaire en fonction de la température ; on suppose qu'elle reste linéaire en dessous de

0\ ^\circ\mathrm{C}

et s'annule au zéro absolu (

-273\ ^\circ\mathrm{C}

). À l'équilibre thermique, l'énergie cinétique moyenne est identique quelle que soit la masse de la particule (théorème d'équipartition). La capacité thermique massique à volume constant de l'argon (masse atomique 40) est

0.31\ \mathrm{J\ g^{-1}\ K^{-1}}

. (1.2) Calculer le nombre d'Avogadro sans utiliser la loi des gaz parfaits, la constante des gaz ni la constante de Boltzmann.

Étape 3 sur 4 : Pente de capacité thermique par atome

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Intuition

L'équipartition relie la température macroscopique à l'énergie microscopique sans connaître $k_B$ au préalable.

a = \frac{E_k}{T} = \frac{6.9\times10^{-21}\ \text{J}}{300\ \text{K}} = 2.3\times10^{-23}\ \text{J K}^{-1}\ (\text{heat capacity per atom})

Analyse

Par le théorème d'équipartition, l'énergie cinétique moyenne d'un atome d'argon égale celle de la gouttelette ; la linéarité avec $E_k(0\ \text{K}) = 0$ donne $E_k = a T$ . Le gain d'énergie cinétique par degré et par atome vaut $a = 6.9\times10^{-21}/300 = 2.3\times10^{-23}$ J K $^{-1}$ .