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Problème 1

La constante d'Avogadro NAN_A peut être déterminée par trois méthodes indépendantes. (Méthode A) La diffraction des rayons X montre que l'or cristallise en maille cubique à faces centrées d'arête a=0.408a = 0.408 nm ; la densité de Au est 1.93×104 kg m−31.93 \times 10^{4}\ \text{kg m}^{-3} et M(Au)=196.97 g mol−1M(\mathrm{Au}) = 196.97\ \text{g mol}^{-1}. (Méthode B, Rutherford 1911) Un échantillon purifié de 192 mg de X226X22226Ra\ce{^{226}Ra} repose 40 jours ; son taux total de désintégration α\alpha est alors 27.7 GBq ; scellé 163 jours de plus, il produit 10.4 mm3\text{mm}^3 de He mesuré à 101325 Pa et 273 K. (Méthode C, Perrin 1909) Des sphères colloïdales de rayon 2.12×10−72.12 \times 10^{-7} m et de densité 1.206×103 kg m−31.206 \times 10^{3}\ \text{kg m}^{-3} en suspension dans l'eau (ρ=999 kg m−3\rho = 999\ \text{kg m}^{-3}) à 15 \°C suivent une distribution de Boltzmann : le graphe de ln⁡(nh/nh0)\ln(n_h/n_{h_0}) en fonction de (h−h0)(h - h_0) a une pente de −0.0235 μm−1-0.0235\ \mu\text{m}^{-1}. Déterminer NAN_A par chaque méthode.
Étape 2 sur 3 : Méthode de désintégration radioactive
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Intuition

Rutherford compte les atomes d'hélium produits et les désintégrations mesurées — le rapport donne le nombre d'atomes par mole.

Nα=27.7×109 s−1×163×86400 s=3.90×1017;n(He)=pVRT=4.64×10−7 mol;NA=3.90×10174.64×10−7=8.4×1023 mol−1N_{\alpha} = 27.7 \times 10^{9}\ \text{s}^{-1} \times 163 \times 86400\ \text{s} = 3.90 \times 10^{17};\quad n(\ce{He}) = \dfrac{pV}{RT} = 4.64 \times 10^{-7}\ \text{mol};\quad N_A = \dfrac{3.90 \times 10^{17}}{4.64 \times 10^{-7}} = 8.4 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}
Analyse

Chaque particule α\alpha devient un atome de He. L'intégrale du taux de désintégration sur 163 jours donne 3.90×10173.90 \times 10^{17} particules et pV/RTpV/RT convertit le volume de He en moles ; le rapport donne NA≈8.4×1023N_A \approx 8.4 \times 10^{23} mol−1^{-1} (surestimé car la série de désintégration n'a pas atteint l'état stationnaire).