Problème 2

Dans l'espace interstellaire,

\ce{H2}

se forme à la surface des grains de poussière car deux atomes H en collision ne peuvent dissiper l'énergie de liaison. La constante d'adsorption est

k_a = 1.4 \times 10^{-5}\ \text{cm}^3\ \text{s}^{-1}

, la densité d'atomes H

[\ce{H}] = 10\ \text{cm}^{-3}

, la constante de désorption d'ordre 1

k_d = 1.9 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1}

et la constante de réaction de surface

k_r = 5.1 \times 10^{4}\ \text{s}^{-1}

(les nombres d'atomes adsorbés s'utilisent comme des concentrations). Le modèle A suppose une réaction d'ordre 2 :

dN/dt = k_a[\ce{H}] - k_d N - k_r N^2

. Le modèle B limite chaque grain à 0, 1 ou 2 atomes avec fractions

x_0, x_1, x_2

et vitesses : adsorption

k_a[\ce{H}]x_m

, désorption

k_d\,m\,x_m

, réaction

\tfrac{1}{2}k_r\,m(m-1)x_m

. (a) Trouver

N

stationnaire et le taux de production de

\ce{H2}

par grain dans chaque modèle. (b) Des simulations donnent un taux réel de

9.4 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1}

; quel modèle est cohérent et quelle étape est limitante ?

Étape 2 sur 4 : Modèle A : état stationnaire quadratique

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k_a[\ce{H}] = k_d N + k_r N^2 \Rightarrow N = \dfrac{-k_d + \sqrt{k_d^2 + 4k_r k_a[\ce{H}]}}{2k_r} = 5.2 \times 10^{-5};\quad v_{\ce{H2}} = \tfrac{1}{2}k_r N^2 = 7.0 \times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}

Analyse

Le terme de réaction fait de $N$ la racine positive de $k_r N^2 + k_d N - k_a[\ce{H}] = 0$ , soit $N = 5.2 \times 10^{-5}$ . Le taux de formation de $\ce{H2}$ est $\tfrac{1}{2}k_r N^2 = 7.0 \times 10^{-5}\ \text{s}^{-1}$ par grain — environ 7 fois la valeur simulée.

Erreur fréquente. Le facteur 1/2 dans

\tfrac{1}{2}k_rN^2

évite de compter deux fois les deux atomes H consommés par

\ce{H2}