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Problème 2

Dans l'espace interstellaire, HX2\ce{H2} se forme à la surface des grains de poussière car deux atomes H en collision ne peuvent dissiper l'énergie de liaison. La constante d'adsorption est ka=1.4×10−5 cm3 s−1k_a = 1.4 \times 10^{-5}\ \text{cm}^3\ \text{s}^{-1}, la densité d'atomes H [H]=10 cm−3[\ce{H}] = 10\ \text{cm}^{-3}, la constante de désorption d'ordre 1 kd=1.9×10−3 s−1k_d = 1.9 \times 10^{-3}\ \text{s}^{-1} et la constante de réaction de surface kr=5.1×104 s−1k_r = 5.1 \times 10^{4}\ \text{s}^{-1} (les nombres d'atomes adsorbés s'utilisent comme des concentrations). Le modèle A suppose une réaction d'ordre 2 : dN/dt=ka[H]−kdN−krN2dN/dt = k_a[\ce{H}] - k_d N - k_r N^2. Le modèle B limite chaque grain à 0, 1 ou 2 atomes avec fractions x0,x1,x2x_0, x_1, x_2 et vitesses : adsorption ka[H]xmk_a[\ce{H}]x_m, désorption kd m xmk_d\,m\,x_m, réaction 12kr m(m−1)xm\tfrac{1}{2}k_r\,m(m-1)x_m. (a) Trouver NN stationnaire et le taux de production de HX2\ce{H2} par grain dans chaque modèle. (b) Des simulations donnent un taux réel de 9.4×10−6 s−19.4 \times 10^{-6}\ \text{s}^{-1} ; quel modèle est cohérent et quelle étape est limitante ?
Étape 3 sur 4 : Modèle B : état stationnaire discret
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x2x1=ka[H]2kd+kr=2.7×10−9;x1x0=ka[H]kd+kr x2/x1≈6.9×10−2;x0=0.94, x1=0.064, x2=1.8×10−10\dfrac{x_2}{x_1} = \dfrac{k_a[\ce{H}]}{2k_d + k_r} = 2.7 \times 10^{-9};\quad \dfrac{x_1}{x_0} = \dfrac{k_a[\ce{H}]}{k_d + k_r\,x_2/x_1} \approx 6.9 \times 10^{-2};\quad x_0 = 0.94,\ x_1 = 0.064,\ x_2 = 1.8 \times 10^{-10}
Analyse

En posant dx1/dt=0dx_1/dt = 0 et dx2/dt=0dx_2/dt = 0 on obtient x2/x1=ka[H]/(2kd+kr)=2.7×10−9x_2/x_1 = k_a[\ce{H}]/(2k_d+k_r) = 2.7 \times 10^{-9} et x1/x0≈ka[H]/kd=6.9×10−2x_1/x_0 \approx k_a[\ce{H}]/k_d = 6.9 \times 10^{-2} ; la normalisation x0+x1+x2=1x_0+x_1+x_2=1 donne x0=0.94x_0=0.94, x1=0.064x_1=0.064, x2=1.8×10−10x_2=1.8\times10^{-10}.