問題 1

陽子のトンネリング。エネルギー障壁を越える陽子のトンネル効果は水素結合をもつ多くの系（DNA、タンパク質など）で観測される。プロパンジアール（マロンアルデヒド）は分子内陽子移動が起きる最も単純な分子の一つである。(1.1) プロパンジアールの示性式と、それと平衡で存在しうる2種の異性体の構造を書け。(1.2) 水溶液中でプロパンジアールは酢酸程度の弱酸である。酸性水素原子を特定し、その酸性の理由を説明せよ。分子内陽子移動のエネルギー曲線は対称な二重井戸型で、2つの極小間の距離は

d = 0.06

nm である。(1.3) 2つの極小に対応する構造を書け。陽子は左右の井戸 L, R の間を角振動数

\omega = 6.48\times10^{11}

^{-1}

で往復する。確率密度は

\Psi^2(x,t) = \frac{1}{2}[\Psi_L^2(x) + \Psi_R^2(x) + (\Psi_L^2(x) - \Psi_R^2(x))\cos\omega t]

。(1.4)

t = 0

t = \pi/(2\omega)

t = \pi/\omega

における確率密度の式を書け。(1.5) 計算なしで、

t = \pi/(2\omega)

において陽子が左の井戸に見出される確率を答えよ。(1.6) 一方の井戸から他方へ陽子が移動するのに要する時間と、移動中の平均速度を求めよ。(1.7) 二重井戸から位置の不確定さ

\Delta x

を推定し、Heisenberg の不確定性関係

\Delta x \cdot m\,\Delta v \ge \hbar/2

から速度の最小不確定さ

\Delta v

を計算して (1.6) の古典的速度と比較し結論を述べよ。

ステップ 3/4: 移動時間と古典的速度

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t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{3.1416}{6.48\times10^{11}} = 4.85\times10^{-12}\ \text{s};\quad v_{\text{mean}} = \frac{d}{t} = \frac{0.06\times10^{-9}\ \text{m}}{4.85\times10^{-12}\ \text{s}} = 12\ \text{m s}^{-1}

分析

L から R への移動は半周期で、 $t = \pi/\omega = 4.85\times10^{-12}$ s（4.85 ps）。距離 $d = 0.06$ nm に対する見かけの古典平均速度は $v = d/t = 12$ m s $^{-1}$ 。