Lớp 12

Chu kỳ bán rã và định luật phân rã phóng xạ

Toán học về sự tồn tại của hạt nhân: phân rã theo hàm mũ, hoạt độ phóng xạ theo becquerel, chuỗi phương trình Bateman mẹ–con và cân bằng quá độ trong máy phát tecneti.

1 THCS 2 THPT 3 Đại học 4 Nâng cao 5 Nghiên cứu

Trực giácTrực giác: chiếc đồng hồ dệt từ xác suất ngẫu nhiên

Hãy tưởng tượng bạn tung đồng loạt mười nghìn đồng xu mỗi phút và loại bỏ mọi đồng xu rơi vào mặt ngửa. Sau phút đầu tiên, khoảng một nửa số đồng xu biến mất, còn lại năm nghìn. Trong phút thứ hai, một nửa số còn lại tiếp tục biến mất, chỉ còn hai nghìn năm trăm. Không một đồng xu riêng lẻ nào biết trước khi nào nó sẽ ngửa, và một đồng xu đã tồn tại mười phút cũng không hề có xác suất ngửa cao hơn một đồng xu vừa đúc. Hạt nhân phóng xạ hành xử với tính ngẫu nhiên không có trí nhớ tương tự: mỗi hạt nhân không bền đều có một xác suất phân rã cố định trong mỗi giây, hoàn toàn độc lập với thời gian nó đã tồn tại trong quá khứ.

Bởi vì vật chất vĩ mô chứa số lượng hạt nhân khổng lồ—chỉ một microgam đồng vị đã chứa hàng nghìn tỷ nguyên tử—tính ngẫu nhiên vi mô này được trung bình hoá thành một quy luật hàm mũ mượt mà và dự đoán được. Số lượng hạt nhân còn lại giảm đi một nửa sau mỗi khoảng thời gian cố định gọi là chu kỳ bán rã. Dù đang theo dõi một dược chất phóng xạ phân rã trong vài giờ hay urani ghi dấu lịch sử địa chất Trái Đất qua hàng tỷ năm, quy luật phân rã theo hàm mũ luôn mang lại cho khoa học một chiếc đồng hồ nguyên tử tuyệt đối bất biến.

Phổ phân rã tương tác. Khảo sát sự giảm một nửa theo hàm mũ tổng quát (tập 0), động học mẹ–con trong máy phát ⁹⁹Mo/⁹⁹ᵐTc đạt đỉnh gần 23 giờ (tập 1), và các mốc phân rã phóng xạ cacbon qua nhiều thiên niên kỷ (tập 2).

Phổ thôngKhái niệm trọng tâm: chu kỳ bán rã, hằng số phân rã và độ phóng xạ

Định nghĩa: Định luật phân rã phóng xạ và độ phóng xạ

Tốc độ phân rã $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$ của một hạt nhân phóng xạ tỷ lệ thuận với số hạt nhân $N(t)$ hiện diện: $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N$ , trong đó $\lambda$ là hằng số phân rã đặc trưng ( $\text{s}^{-1}$ ). Tích phân cho ta $N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 2^{-t / t_{1/2}}$ . Chu kỳ bán rã $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}69315}{\lambda}$ là khoảng thời gian cần thiết để một nửa số hạt nhân ban đầu bị phân rã. Độ phóng xạ $A(t) = \lambda N(t) = A_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}$ đo số phân rã trong mỗi giây, biểu thị theo đơn vị becquerel ( $1\text{ Bq} = 1\text{ phân rã/s}$ ) hoặc curie ( $1\text{ Ci} = 3{,}7 \times 10^{10}\text{ Bq}$ ).

N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 \, 2^{-t / t_{1/2}}, \qquad A(t) = \lambda N(t), \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \qquad \tau = \frac{1}{\lambda} \approx 1.4427 \, t_{1/2}

Các hạt nhân phóng xạ tiêu biểu và chu kỳ bán rã
Hạt nhân	Chu kỳ bán rã	Kiểu phân rã	Ứng dụng thực tế
$\ce{^{14}_6C}$	5730 năm	$\beta^-$	Định tuổi bằng carbon phóng xạ cho cổ vật hữu cơ
$\ce{^{131}_{53}I}$	8,02 ngày	$\beta^-, \gamma$	Điều trị và xạ hình tuyến giáp đích
$\ce{^{99m}_{43}Tc}$	6,01 giờ	Đồng phân hạt nhân ( $\gamma, 140{,}5\text{ keV}$ )	Chẩn đoán hình ảnh y học hạt nhân SPECT lâm sàng
$\ce{^{60}_{27}Co}$	5,27 năm	$\beta^-, \gamma$	Chiếu xạ công nghiệp thực phẩm và xạ trị chùm ngoài
$\ce{^{137}_{55}Cs}$	30,1 năm	$\beta^-, \gamma$	Chỉ thị phân hạch và nguồn chuẩn hiệu chuẩn phòng lab
$\ce{^{226}_{88}Ra}$	khoảng 1600 năm	$\alpha, \gamma$	Chuẩn hoạt độ Curie lịch sử và kim xạ trị áp sát
$\ce{^{238}_{92}U}$	4,47 tỷ năm	$\alpha$	Địa thời học nguyên sinh và nhiên liệu lò phản ứng hạt nhân

Ví dụ: Định tuổi bằng carbon phóng xạ và tính tỷ lệ phân rã

Một mẫu gỗ hữu cơ thu thập từ di chỉ khảo cổ học có hoạt độ phóng xạ $^{14}\text{C}$ bằng $25\%$ hoạt độ của gỗ sống hiện đại ( $t_{1/2} = 5730\text{ năm}$ ). Hãy xác định số chu kỳ bán rã đã trôi qua và tính tuổi của cổ vật. Ngoài ra, hãy tính xem cần bao nhiêu chu kỳ bán rã để hoạt độ giảm xuống dưới $0{,}1\%$ ( $1/1000$ ) mức ban đầu.

Lời giải

Tỷ lệ còn lại: $N/N_0 = 0{,}25 = (1/2)^2$ , do đó đã trôi qua đúng $n = 2$ chu kỳ bán rã. Tuổi của mẫu vật: $t = 2 \times 5730 = 11460\text{ năm}$ (khoảng $11{,}5$ thiên niên kỷ). Để hoạt độ còn $1/1000$ : $(1/2)^n = 10^{-3} \implies n = \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx \frac{6{,}9078}{0{,}69315} \approx 9{,}97\text{ chu kỳ}$ (xấp xỉ 10 chu kỳ bán rã, tương đương $\approx 57100\text{ năm}$ ).

Ví dụ: Độ phóng xạ của một microgam mẫu iot-131

Một lọ dược chất phóng xạ không chất mang chứa $1{,}0\ \mu\text{g}$ iot-131 tinh khiết ( $\ce{^{131}_{53}I}$ , khối lượng mol $M \approx 130{,}9\text{ g/mol}$ , $t_{1/2} = 8{,}02\text{ ngày}$ ). Hãy tính hằng số phân rã $\lambda$ theo $\text{s}^{-1}$ , tổng số hạt nhân phóng xạ $N$ và hoạt độ phóng xạ ban đầu theo becquerel (Bq) cùng gigabecquerel (GBq).

Lời giải

Chu kỳ tính bằng giây: $t_{1/2} = 8{,}02 \times 86400\text{ s} \approx 6{,}929 \times 10^5\text{ s}$ . Hằng số phân rã: $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}69315}{6{,}929 \times 10^5} \approx 1{,}000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1}$ . Số hạt nhân: $N = \frac{1{,}0 \times 10^{-6}\text{ g}}{130{,}9\text{ g/mol}} \times 6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} \approx 4{,}60 \times 10^{15}\text{ nguyên tử}$ . Độ phóng xạ: $A = \lambda N = 1{,}000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1} \times 4{,}60 \times 10^{15} \approx 4{,}60 \times 10^9\text{ Bq} = 4{,}60\text{ GBq}$ (xấp xỉ $124\text{ mCi}$ ).

Lỗi hay gặp. Ba cạm bẫy kinh điển liên quan đến chu kỳ bán rã: (1) Chu kỳ bán rã không bao giờ là một nửa tổng thời gian tồn tại. Mẫu chất không biến mất hoàn toàn sau hai chu kỳ; thay vào đó, còn lại

(1/2)^2 = 25\%

sau hai chu kỳ và

(1/2)^3 = 12{,}5\%

sau ba chu kỳ. (2) Chu kỳ bán rã là một đặc tính hạt nhân bất biến, không bị ảnh hưởng bởi nhiệt độ, áp suất, trạng thái liên kết hoá học hay khối lượng mẫu ban đầu. (3) Đối với số lượng hạt nhân nhỏ, các biến cố phân rã thể hiện rõ sự thăng trầm ngẫu nhiên theo phân phối Poisson (

\sigma = \sqrt{N}

); đường cong hàm mũ mượt mà chỉ là kỳ vọng thống kê của tập hợp lớn.

Đại họcĐại học: Phương trình Bateman và các dạng cân bằng phóng xạ

\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 \implies N_2(t) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} N_{1,0} \left( \mathrm{e}^{-\lambda_1 t} - \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \right), \qquad t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}

Khi hạt nhân mẹ phóng xạ 1 phân rã tạo thành hạt nhân con phóng xạ 2, số lượng hạt nhân con tuân theo hệ phương trình vi phân liên kết của Harry Bateman. Tuỳ thuộc vào tỷ số chu kỳ bán rã, có hai trạng thái cân bằng chủ đạo: 1. Cân bằng thế kỷ (vĩnh cửu) xảy ra khi hạt nhân mẹ có tuổi thọ lớn hơn rất nhiều so với hạt nhân con ( $\lambda_1 \ll \lambda_2$ , chẳng hạn $\ce{^{226}Ra}$ có $t_{1/2} = 1600\text{ năm}$ phân rã thành $\ce{^{222}Rn}$ có $t_{1/2} = 3{,}82\text{ ngày}$ ). Sau vài chu kỳ bán rã của hạt nhân con, $\mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \to 0$ và độ phóng xạ của hạt nhân con bằng đúng độ phóng xạ của hạt nhân mẹ: $A_2(t) \to A_1(t)$ . 2. Cân bằng quá độ xuất hiện khi hạt nhân mẹ sống lâu hơn hạt nhân con nhưng chu kỳ cùng bậc độ lớn ( $\lambda_1 < \lambda_2$ ), điển hình là máy phát y tế $\ce{^{99}Mo} \to \ce{^{99m}Tc}$ ( $t_{1/2} = 65{,}94\text{ giờ}$ so với $6{,}01\text{ giờ}$ ). Hoạt độ hạt nhân con vượt qua hoạt độ mẹ và đạt cực đại tại $t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx 22{,}8\text{ giờ}$ (khoảng 23 giờ), sau đó cả hai đồng vị cùng suy giảm theo chu kỳ của hạt nhân mẹ: $A_2(t) \to \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} A_1(t) \approx 1{,}10 \, A_1(t)$ .

Trong dược lý phóng xạ và lý sinh môi trường, các hạt nhân phóng xạ đi vào cơ thể sống đồng thời trải qua quá trình phân rã vật lý và đào thải sinh học. Hằng số phân rã hiệu dụng bằng tổng trực tiếp của tốc độ vật lý và sinh học ( $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_{\text{phys}} + \lambda_{\text{bio}}$ ), dẫn đến mối quan hệ điều hoà nghịch đảo cho chu kỳ bán rã hiệu dụng: $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_{\text{phys}}} + \frac{1}{T_{\text{bio}}}$ . Nếu một hạt nhân phân rã theo nhiều nhánh cạnh tranh (phân rã nhánh với hằng số $\lambda_a$ và $\lambda_b$ ), hằng số phân rã tổng bằng $\lambda = \lambda_a + \lambda_b$ , và tỷ lệ phân nhánh cho kiểu $a$ là $f_a = \lambda_a / \lambda$ .

Nâng caoVật lý chuyên sâu: Thống kê Poisson và xuyên hầm lượng tử

Bởi vì từng biến cố phân rã phóng xạ riêng biệt là các sự kiện Poisson độc lập xảy ra trong các tập hợp hạt nhân cực lớn, việc đếm $N$ xung phân rã luôn mang độ bất định thống kê không thể triệt tiêu với độ lệch chuẩn $\sigma = \sqrt{N}$ và sai số tương đối $\sigma / N = 1/\sqrt{N}$ . Trong đo đạc phông thấp hay định tuổi cổ vật cổ sinh bằng carbon phóng xạ, việc tích luỹ tổng số đếm lớn là cách duy nhất để hạn chế nhiễu thống kê. Thêm vào đó, hằng số phân rã $\lambda$ trải dài hơn hai mươi bậc độ lớn trên bảng hạt nhân. Vào năm 1928, George Gamow (cùng Gurney và Condon) đã chứng minh rằng chu kỳ bán rã alpha bắt nguồn từ hiệu ứng xuyên hầm cơ học lượng tử: cụm hạt alpha va đập vào rào thế Coulomb khoảng $10^{21}\text{ lần mỗi giây}$ , trong đó xác suất xuyên hầm hàm mũ $P \propto \exp[-2\pi\eta]$ giải thích định luật thực nghiệm Geiger-Nuttall, liên kết sự gia tăng nhỏ về động năng alpha với sự sụt giảm hàng chục bậc độ lớn của chu kỳ bán rã.

Tài liệu tham khảo

Introductory Nuclear Physics · K. S. Krane, 1987
Radiochemistry and Nuclear Chemistry, 4th Edition · G. Choppin, J.-O. Liljenzin, J. Rydberg, C. Ekberg, 2013
Atmospheric Helium Three and Radiocarbon from Cosmic Radiation · W. F. Libby, 1946