Chemistry Labs

問題 1

炭素は安定同位体 X12X2212C\ce{^{12}C}（原子の98.90 %）と X13X2213C\ce{^{13}C}（1.10 %）からなる。さらに少量の放射性同位体 X14X2214C\ce{^{14}C}（t1/2=5730t_{1/2} = 5730 年）を含み、これは宇宙線によって大気中で COX2\ce{CO2} として継続的に生成され、自然の COX2\ce{CO2} 循環を通じて安定同位体と混合する。X14X2214C\ce{^{14}C} の崩壊速度は −dN/dt=λN-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N（N は X14X2214C\ce{^{14}C} 原子数）で表され、積分すると N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t} となる。1.1 λ\lambda と t1/2t_{1/2} の数学的関係は？ 1.2 自然の COX2\ce{CO2} 循環に参加している炭素の崩壊速度は1分あたり1 gあたり13.6回である。植物が死ぬと COX2\ce{CO2} 循環から外れ、崩壊速度は低下する。1983年、バイキング船の木材について1分あたり1 gあたり12.0回が測定された。その木は何年に伐採されたか？ 1.3 測定速度の誤差は1分あたり1 gあたり0.2回である。年代の誤差はいくらか？ 1.4 自然の COX2\ce{CO2} 循環に参加する炭素の X12X2212C/X14X2214C\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C} 同位体比はいくらか（1年 = 365日）？
ステップ 1/5: 半減期から崩壊定数へ
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N0/2=N0e−λt1/2  ⇒  λ=ln⁡2t1/2=0.6935730 yrN_0/2 = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \;\Rightarrow\; \lambda = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0.693}{5730\ \text{yr}}
分析

積分則に t=t1/2t = t_{1/2} で N=N0/2N = N_0/2 を代入すると e−λt1/2=1/2e^{-\lambda t_{1/2}} = 1/2、よって λ=ln⁡2/t1/2=1.21×10−4\lambda = \ln 2 / t_{1/2} = 1.21\times 10^{-4} yr−1^{-1}。