Chemistry Labs

問題 1

炭素は安定同位体 X12X2212C\ce{^{12}C}（原子の98.90 %）と X13X2213C\ce{^{13}C}（1.10 %）からなる。さらに少量の放射性同位体 X14X2214C\ce{^{14}C}（t1/2=5730t_{1/2} = 5730 年）を含み、これは宇宙線によって大気中で COX2\ce{CO2} として継続的に生成され、自然の COX2\ce{CO2} 循環を通じて安定同位体と混合する。X14X2214C\ce{^{14}C} の崩壊速度は −dN/dt=λN-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N（N は X14X2214C\ce{^{14}C} 原子数）で表され、積分すると N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t} となる。1.1 λ\lambda と t1/2t_{1/2} の数学的関係は？ 1.2 自然の COX2\ce{CO2} 循環に参加している炭素の崩壊速度は1分あたり1 gあたり13.6回である。植物が死ぬと COX2\ce{CO2} 循環から外れ、崩壊速度は低下する。1983年、バイキング船の木材について1分あたり1 gあたり12.0回が測定された。その木は何年に伐採されたか？ 1.3 測定速度の誤差は1分あたり1 gあたり0.2回である。年代の誤差はいくらか？ 1.4 自然の COX2\ce{CO2} 循環に参加する炭素の X12X2212C/X14X2214C\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C} 同位体比はいくらか（1年 = 365日）？
ステップ 2/5: 木材の年代
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直感的な説明

放射能はNに比例するので、放射能比から経過した崩壊時間が直接得られる。

t=t1/2ln⁡2ln⁡A0A=57300.693ln⁡13.612.0=1035 yr  ⇒  cut in 1983−1035≈948t = \dfrac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{5730}{0.693}\ln\dfrac{13.6}{12.0} = 1035\ \text{yr}\;\Rightarrow\;\text{cut in } 1983 - 1035 \approx 948
分析

A=λNA = \lambda N より A0/A=13.6/12.0A_0/A = 13.6/12.0 は N0/N=eλtN_0/N = e^{\lambda t} に等しい。解くと t=(t1/2/ln⁡2)ln⁡(13.6/12.0)=1035t = (t_{1/2}/\ln 2)\ln(13.6/12.0) = 1035 年、すなわち伐採はおよそ 1983−1035=9481983 - 1035 = 948 年。