問題 1

炭素は安定同位体

\ce{^{12}C}

（原子の98.90 %）と

\ce{^{13}C}

（1.10 %）からなる。さらに少量の放射性同位体

\ce{^{14}C}

（

t_{1/2} = 5730

年）を含み、これは宇宙線によって大気中で

\ce{CO2}

として継続的に生成され、自然の

\ce{CO2}

循環を通じて安定同位体と混合する。

\ce{^{14}C}

の崩壊速度は

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

（N は

\ce{^{14}C}

原子数）で表され、積分すると

N = N_0\,e^{-\lambda t}

となる。1.1

\lambda

と

t_{1/2}

の数学的関係は？ 1.2 自然の

\ce{CO2}

循環に参加している炭素の崩壊速度は1分あたり1 gあたり13.6回である。植物が死ぬと

\ce{CO2}

循環から外れ、崩壊速度は低下する。1983年、バイキング船の木材について1分あたり1 gあたり12.0回が測定された。その木は何年に伐採されたか？ 1.3 測定速度の誤差は1分あたり1 gあたり0.2回である。年代の誤差はいくらか？ 1.4 自然の

\ce{CO2}

循環に参加する炭素の

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

同位体比はいくらか（1年 = 365日）？

ステップ 3/5: 誤差伝播

t = \dfrac{5730}{0.693}\ln\dfrac{13.6}{12.0 \pm 0.2} \;\Rightarrow\; t = 1035\ {}^{+139}_{-137}\ \text{yr}

分析

測定速度の両端で年代を評価すると、 $A = 12.2$ で $t = 898$ 年、 $A = 11.8$ で $t = 1174$ 年。したがって年代は $1035\ {}^{+139}_{-137}$ 年 —— 年代が $1/A$ に対数的に依存するため誤差は非対称になる。