問題 1

炭素は安定同位体

\ce{^{12}C}

（原子の98.90 %）と

\ce{^{13}C}

（1.10 %）からなる。さらに少量の放射性同位体

\ce{^{14}C}

（

t_{1/2} = 5730

年）を含み、これは宇宙線によって大気中で

\ce{CO2}

として継続的に生成され、自然の

\ce{CO2}

循環を通じて安定同位体と混合する。

\ce{^{14}C}

の崩壊速度は

-\mathrm{d}N/\mathrm{d}t = \lambda N

（N は

\ce{^{14}C}

原子数）で表され、積分すると

N = N_0\,e^{-\lambda t}

となる。1.1

\lambda

と

t_{1/2}

の数学的関係は？ 1.2 自然の

\ce{CO2}

循環に参加している炭素の崩壊速度は1分あたり1 gあたり13.6回である。植物が死ぬと

\ce{CO2}

循環から外れ、崩壊速度は低下する。1983年、バイキング船の木材について1分あたり1 gあたり12.0回が測定された。その木は何年に伐採されたか？ 1.3 測定速度の誤差は1分あたり1 gあたり0.2回である。年代の誤差はいくらか？ 1.4 自然の

\ce{CO2}

循環に参加する炭素の

\ce{^{12}C}/\ce{^{14}C}

同位体比はいくらか（1年 = 365日）？

ステップ 5/5: 12C/14C比

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\dfrac{N(\ce{^{12}C})}{N(\ce{^{14}C})} = \dfrac{0.989 \times 6.02\times 10^{23} / 12}{5.91\times 10^{10}} \approx 8.4\times 10^{11} : 1

分析

天然炭素1 gには $\ce{^{12}C}$ が $0.989$ g、すなわち $(0.989/12)\times 6.02\times 10^{23} = 4.96\times 10^{22}$ 原子含まれる。 $\ce{^{14}C}$ の $5.91\times 10^{10}$ 原子で割ると比は約 $8.4\times 10^{11}$ : 1 —— 炭素原子1兆個に約1個の $\ce{^{14}C}$ 。