問題 25

ミューオン。ミューオン（

\mu

）は電子と同じ電荷と磁気的性質を持つが質量が異なるレプトンで、不安定で数マイクロ秒で崩壊する。二つの異なる方法でミューオンの質量を求めよ。(a) 最も一般的な自発崩壊は

\ce{\mu- -> e- + \bar{\nu}_e + \nu_{\mu}}

。静止したミューオンを使った実験で、2個のニュートリノが合計

2.000\times10^{-12}

J のエネルギーを持ち去り、電子の運動エネルギーは

1.4846\times10^{-11}

J であった。ミューオンの質量を求めよ。（

m_e = 9.109\times10^{-31}

kg,

c = 2.998\times10^{8}

m s

^{-1}

。）(b) 電子の代わりにミューオンを持つエキゾチック原子は様々な励起状態で生成される。

\ce{^1H}

原子核にミューオンが結合した原子で、第3励起状態から第1励起状態への遷移が波長 2.615 nm で観測された。換算質量補正を含む Bohr 模型でミューオンの質量を求めよ。（

E_n = -109700\ \mathrm{cm}^{-1}\times hc\times\mu/m_e \times 1/n^2

、

\mu = m_\mu m_H/(m_\mu + m_H)

；

m_H = 1.673\times10^{-27}

kg。）

ステップ 3/3: ミューオン質量を解く

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m_\mu = \frac{\mu\, m_H}{m_H - \mu} = \frac{1.693\times10^{-28}\times1.673\times10^{-27}}{1.673\times10^{-27} - 1.693\times10^{-28}} = 1.884\times10^{-28}\ \text{kg}

分析

換算質量の関係 $\mu = m_\mu m_H/(m_\mu + m_H)$ を逆に解いて $m_\mu = \mu m_H/(m_H - \mu)$ 。 $\mu = 1.693\times10^{-28}$ kg と $m_H = 1.673\times10^{-27}$ kg を代入し $m_\mu = 1.884\times10^{-28}$ kg — 崩壊エネルギーからの値とよく一致する。