問題 1

2種類の一本鎖核酸断片 a, b で修飾した金ナノ粒子は、コロナウイルス由来の標的核酸 a'b' の存在下で凝集し、数分で溶液の色が赤から青に変わる。金ナノ粒子は金原子が固体金と同じ密度

\rho = 19.3

g cm

^{-3}

で密集したものである。(a) 直径30.0 nmの球形金ナノ粒子中の金原子数

N

を求めよ（

M(\ce{Au}) = 197.0

g mol

^{-1}

、

N_A = 6.022\times 10^{23}

mol

^{-1}

）。(b) 5.2 mg の

\ce{HAuCl4*3H2O}

（

M = 394

g mol

^{-1}

）を100.0 mLの反応溶液中で直径30.0 nmの一様な球形金ナノ粒子に完全に変換した。得られた赤色溶液の530 nmでの吸光度（光路長1 cm）は0.800であった。530 nmでのモル吸光係数（ナノ粒子1 molあたり）を求めよ。

ステップ 1/3: 粒子あたりの原子数

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N = \dfrac{\rho\,\frac{4}{3}\pi r^3}{M(\ce{Au})}\,N_A = \dfrac{19.3\times 1.414\times 10^{-20}}{197.0}\times 6.022\times 10^{23} = 8.3\times 10^{5}\ \text{atoms}

分析

半径15.0 nmの球の体積は $V = \tfrac{4}{3}\pi(15.0\times 10^{-7}\text{ cm})^3 = 1.414\times 10^{-20}$ cm $^3$ 、質量 $2.73\times 10^{-19}$ g、すなわち $1.39\times 10^{-21}$ mol のAu、粒子あたり $8.3\times 10^{5}$ 原子。

よくある誤り. g cm

^{-3}

の密度を使う前に nm を cm に換算すること。