問題 4

テニスボールはよく弾むよう大気圧より高い圧力に加圧されている。昔の中空ボールは大気圧の空気が入っているだけだった。ボールの内半径は

R = 3.0

cm で加圧中一定、空気は体積で20 % O2・80 % N2とし、過圧でボールは膨張しないとする。(a)

T_0 = 25

°C で古いボール内の空気の質量

m

を求めよ。(b) 現在のボールは

p_0 = 1.80

atm で缶詰され、プレミアムボールは純粋なN2を含む。缶を開けると内部が大気圧になるまでガスが外へ拡散し、内向きの拡散はない。過程は過圧に関する一次反応に従う。プレミアムボールは25 °Cで

t_1 = 241

h 後に

p_1 = 1.40

atm、約

t_2 = 21

日後に

p_2 = 1.19

atm まで減圧する。一次挙動を示し、減圧速度定数

k_{\mathrm{N_2}}

を h

^{-1}

で求めよ。(c) 通常（空気入り）ボールの初期減圧速度はプレミアムボールより10 %速い。両ガスの速度が加算できるとして

k_{\mathrm{O_2}}

を求めよ。(d) 25 °Cで製造・缶詰された新しいプレミアムボールを開封し、すぐに

T = 30.0

°C になる。試合開始は

t = 12.0

h 後。

E_a = 50.0

kJ mol

^{-1}

として試合開始時のボール内圧を求めよ。

ステップ 2/4: 一次速度定数

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k_{\mathrm{N_2}} = \dfrac{1}{241}\ln\dfrac{0.80}{0.40} = 2.88\times 10^{-3}\ \text{h}^{-1};\ \dfrac{1}{504}\ln\dfrac{0.80}{0.19} = 2.85\times 10^{-3}\ \text{h}^{-1}

分析

減衰するのは過圧 $\Delta p = p - 1.00$ atm のみ： $t = 0, 241, 504$ h で $\Delta p = 0.80, 0.40, 0.19$ atm。両区間とも $k = (1/t)\ln(\Delta p_0/\Delta p) \approx 2.86\times 10^{-3}$ h $^{-1}$ を与え、その一致が一次を証明する。正確なデータ点から $k_{\mathrm{N_2}} = 2.88\times 10^{-3}$ h $^{-1}$ 。

よくある誤り. 減衰するのは過圧 p − 1 atm であって全圧ではない。全圧を使うとkが一致しない。