問題 2

アスタチンは地殻中で最も希少な天然元素で、存在量は常時約30 gと推定される。すべてが最も安定な天然同位体

^{219}

At とする。(a) 地球上に常時存在する At 原子の数を推定せよ。(b) 鉛精製の副産物として得られるビスマスは、鉛–ビスマス混合物に Mg と Ca を加えて濃縮される。ビスマスは合金Aを形成し、質量で 7.91 % Ca、9.60 % Mg を含み鉛は含まない。合金Aの実験式を求めよ。(c) 合金Aは塩素と反応してビスマスと 2:1 の比の二つのイオン化合物B、Cを生成する。BとCの化学式を書け。(d)

^{209}_{83}

Bi に

\alpha

粒子を衝突させると核が融合して

^{x}_{y}

At と2つの中性子ができる。このアスタチン同位体の質量数と原子番号を書け。(e) 余剰のビスマスは濃硝酸で除去し、硝酸ビスマス(III)、水、モル質量 30.01 g mol

^{-1}

の無色気体が生じる。反応式を書け。(f) BrAt は2段階で作る：

\ce{Br2}

が D と反応して E のみを生成し、E が

\ce{At2}

と反応して BrAt と D を与える。E の質量スペクトルは m/z 205.82 と 207.82 にほぼ等しい強度の2つの主要ピークを示す。DとEの化学式を書け。(g) BrAt 3.60 g を合成する。この At 同位体の半減期は 433 分である。BrAt が 3.65 mg だけ残るまでの時間を時間単位で（最も近い整数に）求めよ。

ステップ 5/5: 指数崩壊

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t = \frac{433\ \text{min}}{\ln 2} \times \ln\!\frac{3600}{3.65} = 433\ \text{min} \times \frac{\ln 986.3}{\ln 2} \approx 4308\ \text{min} \approx 72\ \text{h}

分析

$m/m_0 = 3.65/3600 = (1/2)^{t/t_{1/2}}$ より $t = 433 \times \log_2(986.3) \approx 4307$ 分 ≈ 72 時間。

よくある誤り. BrAtのモル質量は相殺されるので質量比をそのまま使える。3.60 gを3600 mgに直すのを忘れない。