12年生

半減期と放射性崩壊の法則

原子核崩壊の数学的記述：指数関数的減衰、ベクレル単位の放射能、親娘核種のバットマン連立方程式、テクネチウム発生器の過渡平衡までを解明する。

直観直観：純粋な確率によって刻まれる時計

毎分1万枚のコインを一斉に投げ、表が出たコインを順次取り除く情景を思い描いてほしい。最初の1分で約半数が消えて約5000枚が残り、2分目には残りの半分が消えて約2500枚になる。どの1枚のコインもいつ表が出るか予知できず、10分間生き延びたコインであっても次に表が出る確率は鋳造したてのコインと寸分違わない。放射性原子核はまさにこの無記憶な確率的振る舞いを示す。個々の不安定核は過去の存続時間とは無関係に、任意の1秒間に崩壊する確率が常に一定である。

巨視的な物質には天文学的な個数の原子核が存在するため（わずか1マイクログラムの同位体でも数兆個の原子を含む）、この微視的なランダム性は極めて滑らかで予測可能な指数関数的減衰則へと平均化される。生存する原子核の数は、半減期と呼ばれる一定の時間間隔ごとに半分になっていく。数時間で減衰する医療用トレーサーから数十億年かけて地球の地質年代を刻むウランに至るまで、指数関数的崩壊の法則は科学に不変の原子時計を提供する。

対話型崩壊スペクトル。一般的な指数関数的半減（セット0）、約23時間でピークに達する ⁹⁹Mo/⁹⁹ᵐTc 医療用ジェネレーターの親娘カイネティクス（セット1）、数千年にわたる放射性炭素年代測定のマーク（セット2）を切り替えて観察できる。

学校学校教育の要点：半減期・崩壊定数・放射能

定義: 放射性崩壊の法則と放射能

放射性核種の崩壊速度 $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$ は、その瞬間に存在する原子核数 $N(t)$ に比例する： $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N$ 。ここで $\lambda$ は崩壊定数（ $\text{s}^{-1}$ ）である。積分により $N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 2^{-t / t_{1/2}}$ が得られる。半減期 $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69315}{\lambda}$ は原子核数が初期値の半分に減少するのに要する時間である。放射能 $A(t) = \lambda N(t) = A_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}$ は毎秒の崩壊数を示し、ベクレル（ $1\text{ Bq} = 1\text{ 崩壊/秒}$ ）またはキュリー（ $1\text{ Ci} = 3.7 \times 10^{10}\text{ Bq}$ ）で表される。

N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 \, 2^{-t / t_{1/2}}, \qquad A(t) = \lambda N(t), \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \qquad \tau = \frac{1}{\lambda} \approx 1.4427 \, t_{1/2}

代表的な放射性核種とその半減期
核種	半減期	主崩壊様式	主な用途
$\ce{^{14}_6C}$	5730年	$\beta^-$	有機考古遺物の放射性炭素年代測定
$\ce{^{131}_{53}I}$	8.02日	$\beta^-, \gamma$	甲状腺疾患の標的放射線治療および画像診断
$\ce{^{99m}_{43}Tc}$	6.01時間	核異性体転移 ( $\gamma, 140.5\text{ keV}$ )	臨床SPECT診断医療イメージングの標準核種
$\ce{^{60}_{27}Co}$	5.27年	$\beta^-, \gamma$	工業的ガンマ線照射滅菌および体外放射線治療
$\ce{^{137}_{55}Cs}$	30.1年	$\beta^-, \gamma$	核分裂生成物の環境追跡および放射線測定器の校正線源
$\ce{^{226}_{88}Ra}$	約1600年	$\alpha, \gamma$	歴史的キュリー単位の基準線源および初期の小線源治療
$\ce{^{238}_{92}U}$	44.7億年	$\alpha$	地球年代学の年代測定基準および原子炉核燃料

例: 放射性炭素年代測定と残存率の計算

考古遺跡から出土した木製遺物の $^{14}\text{C}$ 放射能を測定したところ、現代の生木の $25\%$ であった（ $^{14}\text{C}$ の半減期 $t_{1/2} = 5730\text{ 年}$ ）。経過した半減期の回数と遺物の年代を算出しなさい。また、放射能が初期値の $0.1\%$ （ $1/1000$ ）未満に減少するには何回の半減期が必要かを計算しなさい。

解答

残存比率： $N/N_0 = 0.25 = (1/2)^2$ より、経過した半減期はちょうど $n = 2$ 回である。遺物の年代： $t = 2 \times 5730 = 11460\text{ 年}$ （約1.15万年前）。残存率が $1/1000$ となる場合： $(1/2)^n = 10^{-3} \implies n = \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx \frac{6.9078}{0.69315} \approx 9.97\text{ 回}$ （約10回の半減期、およそ5.71万年）。

例: マイクログラム単位のヨウ素131試料の放射能計算

無担体放射性医薬品アンプルに $1.0\ \mu\text{g}$ の純粋なヨウ素131（ $\ce{^{131}_{53}I}$ 、モル質量 $M \approx 130.9\text{ g/mol}$ 、半減期 $t_{1/2} = 8.02\text{ 日}$ ）が含まれている。崩壊定数 $\lambda$ （ $\text{s}^{-1}$ ）、放射性原子核数 $N$ 、および初期放射能（Bq および GBq）を求めなさい。

解答

秒単位の半減期： $t_{1/2} = 8.02 \times 86400\text{ s} \approx 6.929 \times 10^5\text{ s}$ 。崩壊定数： $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.69315}{6.929 \times 10^5} \approx 1.000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1}$ 。原子核数： $N = \frac{1.0 \times 10^{-6}\text{ g}}{130.9\text{ g/mol}} \times 6.022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} \approx 4.60 \times 10^{15}\text{ 個}$ 。放射能： $A = \lambda N = 1.000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1} \times 4.60 \times 10^{15} \approx 4.60 \times 10^9\text{ Bq} = 4.60\text{ GBq}$ （約 $124\text{ mCi}$ ）。

大学大学：バットマン方程式と放射平衡

\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 \implies N_2(t) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} N_{1,0} \left( \mathrm{e}^{-\lambda_1 t} - \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \right), \qquad t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}

放射性親核種1が崩壊して放射性娘核種2を生成するとき、娘核種の原子数はハリー・バットマンの連立微分方程式に従う。半減期の比率によって主に2つの平衡状態が生じる： 1. 永続平衡（放射平衡）：親核種の寿命が娘核種より圧倒的に長い場合（ $\lambda_1 \ll \lambda_2$ 、例： $\ce{^{226}Ra}$ の $t_{1/2} = 1600\text{ 年}$ に対し $\ce{^{222}Rn}$ は $3.82\text{ 日}$ ）。娘核種の数半減期後には $\mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \to 0$ となり、娘核種の放射能は親核種の放射能と完全に等しくなる： $A_2(t) \to A_1(t)$ 。 2. 過渡平衡：親核種が娘核種より長寿命であるが同程度の時間尺度である場合（ $\lambda_1 < \lambda_2$ 、例： $\ce{^{99}Mo}$ の $65.94\text{ 時間}$ に対し $\ce{^{99m}Tc}$ は $6.01\text{ 時間}$ ）。娘核種の放射能は親核種を一時的に上回り、 $t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx 22.8\text{ 時間}$ （約23時間）で最大ピークに達した後、親の半減期に従って同期して減衰する： $A_2(t) \to \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} A_1(t) \approx 1.10 \, A_1(t)$ 。

放射性薬理学や環境生体物理学において、体内に投与された放射性核種は物理的崩壊と生物学的排出を同時に受ける。有効崩壊定数は物理的・生物学的速度の直接和となり（ $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_{\text{phys}} + \lambda_{\text{bio}}$ ）、有効半減期に対する調和逆数関係 $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_{\text{phys}}} + \frac{1}{T_{\text{bio}}}$ が導かれる。また核種が複数の競合経路で崩壊する場合（崩壊定数 $\lambda_a$ と $\lambda_b$ による分岐崩壊）、全崩壊定数は $\lambda = \lambda_a + \lambda_b$ となり、経路 $a$ への分岐比は $f_a = \lambda_a / \lambda$ で定義される。

上級高度な物理的考察：ポアソン統計と量子トンネル効果

個々の放射性崩壊は巨大母集団において独立に生じるポアソン過程であるため、 $N$ 回の崩壊カウントの測定には標準偏差 $\sigma = \sqrt{N}$ 、相対不確かさ $\sigma / N = 1/\sqrt{N}$ という不可避の統計誤差が伴う。低バックグラウンド計測や旧石器時代の放射性炭素測定では、十分な積算カウント数を確保することだけが計数ノイズを抑制する物理的手段である。さらに核種の崩壊定数 $\lambda$ は20桁以上の驚異的な広がりを持つ。1928年にジョージ・ガモフ（およびガーニーとコンドン）は、α崩壊の半減期が量子力学的トンネル効果に起因することを解明した。核内で形成されたα粒子は毎秒約 $10^{21}$ 回クーロン障壁に衝突し、指数関数的な透過確率 $P \propto \exp[-2\pi\eta]$ によってガイガー・ヌッタルの経験則（α運動エネルギーのわずかな増大が半減期の桁違いの激減をもたらす現象）が物理的に説明される。

参考文献

Introductory Nuclear Physics · K. S. Krane, 1987
Radiochemistry and Nuclear Chemistry, 4th Edition · G. Choppin, J.-O. Liljenzin, J. Rydberg, C. Ekberg, 2013
Atmospheric Helium Three and Radiocarbon from Cosmic Radiation · W. F. Libby, 1946