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放射年代測定 放射性壊変定数と親・娘同位体比が地球年代学の時計を構成し、考古学の放射性炭素からアイソクロン法や地球の年齢決定に至る原理。
直観 直観：岩石の中に閉じ込められた放射性の砂時計 砂時計は、砂粒が上の部屋から下の部屋へ一定の速度で落ちることで経過時間を刻む。自然界では、放射性原子核が原子レベルの砂時計として機能する。不安定な親核種は、環境の温度や圧力、化学結合の様式に一切左右されることなく、純粋な量子力学的確率に従って安定な娘核種へと壊変する。マグマが冷却して鉱物結晶が固化するか、あるいは生物が呼吸代謝を終えた瞬間、砂時計はひっくり返される。親原子が結晶格子に固定され、娘核種の着実な蓄積が悠久の地球史を記録し始める。
年代測定法を選択して壊変曲線を観察：5万年にわたる 14C 残存割合の指数関数的減少（5.73千年、11.5千年、50千年の限界値）、地球の年齢である45.4億年までの放射起源 40Ar/40K 比の増加、数十億年の惑星進化を追跡する 207Pb /206Pb* 比。 学校 学校レベル：基本年代方程式と放射性炭素年代測定 定義: 基本放射年代方程式と閉鎖系
崩壊定数 λ \lambda λ P P P D ∗ D^* D ∗ D ∗ = P ( e λ t − 1 ) D^* = P(e^{\lambda t} - 1) D ∗ = P ( e λ t − 1 ) t t t t = 1 λ ln ( 1 + D ∗ P ) t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \frac{D^*}{P}\right) t = λ 1 ln ( 1 + P D ∗ ) 閉鎖温度 （T c T_c T c 閉鎖系 を保っていなければならない。
放射性炭素年代測定は、高層大気中で宇宙線中性子が窒素と衝突する核反応 X 7 14 X 2 7 2 14 N + X 0 1 X 2 0 2 1 n → X 6 14 X 2 6 2 14 C + X 1 1 X 2 1 2 1 p \ce{^{14}_7N + ^1_0n -> ^{14}_6C + ^1_1p} X 7 14 X 2 7 2 14 N + X 0 1 X 2 0 2 1 n X 6 14 X 2 6 2 14 C + X 1 1 X 2 1 2 1 p X 14 X 2 2 14 C O X 2 \ce{^{14}CO2} X 14 X 2 2 14 CO X 2 X 14 X 2 2 14 C / X 12 X 2 2 12 C \ce{^{14}C/^{12}C} X 14 X 2 2 14 C / X 12 X 2 2 12 C 1.2 × 10 − 12 1.2 \times 10^{-12} 1.2 × 1 0 − 12 X 14 X 2 2 14 C \ce{^{14}C} X 14 X 2 2 14 C t 1 / 2 = 5730 ± 40 年 t_{1/2} = 5730\pm 40\text{ 年} t 1/2 = 5730 ± 40 年 β − \beta^- β − 5568 年 5568\text{ 年} 5568 年 IntCal20 等の較正曲線が必須である。加速器質量分析計（AMS）により、ミリグラム未満の極微量試料から原子を直接計数でき、測定限界は約5万年に達する。
主要な放射年代測定系と対象鉱物 測定系 壊変形式 半減期 適用年代範囲 主な測定対象 X 14 X 2 2 14 C → X 14 X 2 2 14 N \ce{^{14}C -> ^{14}N} X 14 X 2 2 14 C X 14 X 2 2 14 N ベータマイナス壊変 5730 年 300〜5万年 木炭・木材・骨格・貝殻・泥炭 X 40 X 2 2 40 K → X 40 X 2 2 40 A r \ce{^{40}K -> ^{40}Ar} X 40 X 2 2 40 K X 40 X 2 2 40 Ar 電子捕獲（10.7%） 12.48 億年 10万年〜45億年 サニディン・黒雲母・白雲母・角閃石 X 87 X 2 2 87 R b → X 87 X 2 2 87 S r \ce{^{87}Rb->^{87}Sr} X 87 X 2 2 87 Rb X 87 X 2 2 87 Sr ベータマイナス壊変 488 億年 1000万年〜46億年 雲母・カリ長石・花崗岩全岩 X 238 X 2 2 238 U → X 206 X 2 2 206 P b \ce{^{238}U->^{206}Pb} X 238 X 2 2 238 U X 206 X 2 2 206 Pb アルファ・ベータ崩壊系列 44.68 億年 100万年〜46億年 ジルコン・バッデレイ石・モナズ石 X 235 X 2 2 235 U → X 207 X 2 2 207 P b \ce{^{235}U->^{207}Pb} X 235 X 2 2 235 U X 207 X 2 2 207 Pb アルファ・ベータ崩壊系列 7.038 億年 100万年〜46億年 238U と組み合わせてコンコーディアを形成 X 147 X 2 2 147 S m → X 143 X 2 2 143 N d \ce{^{147}Sm->^{143}Nd} X 147 X 2 2 147 Sm X 143 X 2 2 143 Nd アルファ壊変 1060 億年 1億年〜46億年 玄武岩・月面斜長岩・隕石
例: 放射性炭素年代の未較正年代計算
考古発掘現場から出土した古代スギの角材を測定したところ、含まれる X 14 X 2 2 14 C \ce{^{14}C} X 14 X 2 2 14 C 12.5 % 12.5\% 12.5% 1 / 8 1/8 1/8 t 1 / 2 = 5730 年 t_{1/2} = 5730\text{ 年} t 1/2 = 5730 年
解答 残存する比放射能の割合は N / N 0 = 0.125 = ( 1 / 2 ) 3 N/N_0 = 0.125 = (1/2)^3 N / N 0 = 0.125 = ( 1/2 ) 3 t = 3 × t 1 / 2 = 3 × 5730 = 17190 年 t = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 5730 = 17190\text{ 年} t = 3 × t 1/2 = 3 × 5730 = 17190 年 t = − t 1 / 2 ln 2 ln ( N N 0 ) = − 5730 0.69315 × ( − 2.07944 ) ≈ 17190 年 t = -\frac{t_{1/2}}{\ln 2}\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\frac{5730}{0.69315}\times (-2.07944) \approx 17190\text{ 年} t = − l n 2 t 1/2 ln ( N 0 N ) = − 0.69315 5730 × ( − 2.07944 ) ≈ 17190 年
大学 大学：分岐壊変 K-Ar 法・40Ar/39Ar 法・Rb-Sr アイソクロン法 t = 1 λ ln ( 1 + λ λ e 40 Ar ∗ 40 K ) with λ = 5.543 × 10 − 10 y − 1 , λ e = 0.580 × 10 − 10 y − 1 t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\frac{^{40}\text{Ar}^*}{^{40}\text{K}}\right) \quad \text{with} \quad \lambda = 5.543 \times 10^{-10}\ \text{y}^{-1},\ \lambda_e = 0.580 \times 10^{-10}\ \text{y}^{-1} t = λ 1 ln ( 1 + λ e λ 40 K 40 Ar ∗ ) with λ = 5.543 × 1 0 − 10 y − 1 , λ e = 0.580 × 1 0 − 10 y − 1 カリウム40は分岐壊変を示す：電子捕獲により希ガスである X 40 X 2 2 40 A r \ce{^{40}Ar} X 40 X 2 2 40 Ar 10.72 % 10.72\% 10.72% λ e = 0.580 × 10 − 10 年 − 1 \lambda_e = 0.580 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ e = 0.580 × 1 0 − 10 年 − 1 β − \beta^- β − X 40 X 2 2 40 C a \ce{^{40}Ca} X 40 X 2 2 40 Ca 89.28 % 89.28\% 89.28% λ β = 4.963 × 10 − 10 年 − 1 \lambda_\beta = 4.963 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ β = 4.963 × 1 0 − 10 年 − 1 λ = 5.543 × 10 − 10 年 − 1 \lambda = 5.543 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ = 5.543 × 1 0 − 10 年 − 1 X 40 X 2 2 40 A r 0 ≈ 0 \ce{^{40}Ar}_0 \approx 0 X 40 X 2 2 40 Ar 0 ≈ 0 X 40 X 2 2 40 A r ∗ \ce{^{40}Ar}^* X 40 X 2 2 40 Ar ∗ X 40 X 2 2 40 A r / X 39 X 2 2 39 A r \ce{^{40}Ar/^{39}Ar} X 40 X 2 2 40 Ar / X 39 X 2 2 39 Ar X 39 X 2 2 39 K ( n , p ) X 39 X 2 2 39 A r \ce{^{39}K}(n,p)\ce{^{39}Ar} X 39 X 2 2 39 K ( n , p ) X 39 X 2 2 39 Ar
87 Sr 86 Sr = ( 87 Sr 86 Sr ) 0 + 87 Rb 86 Sr ( e λ t − 1 ) \frac{^{87}\text{Sr}}{^{86}\text{Sr}} = \left(\frac{^{87}\text{Sr}}{^{86}\text{Sr}}\right)_0 + \frac{^{87}\text{Rb}}{^{86}\text{Sr}}\left(e^{\lambda t} - 1\right) 86 Sr 87 Sr = ( 86 Sr 87 Sr ) 0 + 86 Sr 87 Rb ( e λ t − 1 ) 結晶化時に初生娘核種 D 0 D_0 D 0 アイソクロン（等時線）法 は、娘元素の放射起源でない安定同位体（ルビジウム-ストロンチウム法 X 87 X 2 2 87 R b → X 87 X 2 2 87 S r \ce{^{87}Rb -> ^{87}Sr} X 87 X 2 2 87 Rb X 87 X 2 2 87 Sr t 1 / 2 = 48.8 億年 t_{1/2} = 48.8\text{ 億年} t 1/2 = 48.8 億年 λ = 1.42 × 10 − 11 年 − 1 \lambda = 1.42 \times 10^{-11}\ \text{年}^{-1} λ = 1.42 × 1 0 − 11 年 − 1 X 86 X 2 2 86 S r \ce{^{86}Sr} X 86 X 2 2 86 Sr R b / S r \ce{Rb/Sr} Rb / Sr ( X 87 X 2 2 87 S r / X 86 X 2 2 86 S r ) 0 (\ce{^{87}Sr/^{86}Sr})_0 ( X 87 X 2 2 87 Sr / X 86 X 2 2 86 Sr ) 0 X 87 X 2 2 87 R b / X 86 X 2 2 86 S r \ce{^{87}Rb/^{86}Sr} X 87 X 2 2 87 Rb / X 86 X 2 2 86 Sr X 87 X 2 2 87 S r / X 86 X 2 2 86 S r \ce{^{87}Sr/^{86}Sr} X 87 X 2 2 87 Sr / X 86 X 2 2 86 Sr m = e λ t − 1 ≈ λ t m = e^{\lambda t} - 1 \approx \lambda t m = e λ t − 1 ≈ λ t t t t
例: 火山性サニディン結晶のカリウム-アルゴン年代測定
火山凝灰岩層から抽出したサニディン結晶を高精度希ガス質量分析計で測定したところ、カリウムに対する放射起源アルゴンの原子数比が X 40 X 2 2 40 A r ∗ X 40 X 2 2 40 K = 0.0950 \frac{\ce{^{40}Ar}^*}{\ce{^{40}K}} = 0.0950 X 40 X 2 2 40 K X 40 X 2 2 40 Ar ∗ = 0.0950 λ = 5.543 × 10 − 10 年 − 1 \lambda = 5.543 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ = 5.543 × 1 0 − 10 年 − 1 λ e = 0.580 × 10 − 10 年 − 1 \lambda_e = 0.580 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ e = 0.580 × 1 0 − 10 年 − 1
解答 分岐 K-Ar 年代方程式に代入する：t = 1 λ ln ( 1 + λ λ e X 40 X 2 2 40 A r ∗ X 40 X 2 2 40 K ) t = \frac{1}{\lambda}\ln\left(1 + \frac{\lambda}{\lambda_e}\frac{\ce{^{40}Ar}^*}{\ce{^{40}K}}\right) t = λ 1 ln ( 1 + λ e λ X 40 X 2 2 40 K X 40 X 2 2 40 Ar ∗ ) λ λ e = 5.543 × 10 − 10 0.580 × 10 − 10 ≈ 9.5569 \frac{\lambda}{\lambda_e} = \frac{5.543 \times 10^{-10}}{0.580 \times 10^{-10}} \approx 9.5569 λ e λ = 0.580 × 1 0 − 10 5.543 × 1 0 − 10 ≈ 9.5569 1 + 9.5569 × 0.0950 = 1 + 0.9079 = 1.9079 1 + 9.5569 \times 0.0950 = 1 + 0.9079 = 1.9079 1 + 9.5569 × 0.0950 = 1 + 0.9079 = 1.9079 ln ( 1.9079 ) ≈ 0.6460 \ln(1.9079) \approx 0.6460 ln ( 1.9079 ) ≈ 0.6460 λ \lambda λ t = 0.6460 5.543 × 10 − 10 年 − 1 ≈ 1.1654 × 10 9 年 = 1165.4 Ma t = \frac{0.6460}{5.543 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1}} \approx 1.1654 \times 10^9\text{ 年} = 1165.4\text{ Ma} t = 5.543 × 1 0 − 10 年 − 1 0.6460 ≈ 1.1654 × 1 0 9 年 = 1165.4 Ma
よくある間違い. 変成作用や風化を受けた岩石に対して無批判に閉鎖系を仮定することは重大な年代誤認を招く。鉱物がその閉鎖温度以上に再加熱されると、気体である 40Ar やイオン半径の適合しない Pb2+ などの娘核種が結晶格子から熱拡散によって逸散し、得られる年代は初生結晶化年代ではなく熱変成後の冷却年代を示すことになる。逆に、深部マグマ溜まりで高流体圧下で急冷晶出した場合には「過剰アルゴン」が流体包有物に捕獲され、真の年代より桁違いに古い偽の年代を与える。炭素14測定においても、未較正の「BP放射性炭素年代」を年輪較正なしに太陽暦年と直結させてはならない。 上級 発展：U-Pb コンコーディア・Jack Hills ジルコン・地球の年齢 ジルコン（Z r S i O X 4 \ce{ZrSiO4} ZrSiO X 4 r = 84 pm r = 84\text{ pm} r = 84 pm U X 4 + \ce{U^4+} U X 4 + r = 100 pm r = 100\text{ pm} r = 100 pm P b X 2 + \ce{Pb^2+} Pb X 2 + r = 119 pm r = 119\text{ pm} r = 119 pm 10 5 10^5 1 0 5 P b 0 ≈ 0 \ce{Pb}_0 \approx 0 Pb 0 ≈ 0 X 238 X 2 2 238 U → X 206 X 2 2 206 P b \ce{^{238}U -> ^{206}Pb} X 238 X 2 2 238 U X 206 X 2 2 206 Pb t 1 / 2 = 44.68 億年 t_{1/2} = 44.68\text{ 億年} t 1/2 = 44.68 億年 λ 238 = 1.55125 × 10 − 10 年 − 1 \lambda_{238} = 1.55125 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ 238 = 1.55125 × 1 0 − 10 年 − 1 X 235 X 2 2 235 U → X 207 X 2 2 207 P b \ce{^{235}U -> ^{207}Pb} X 235 X 2 2 235 U X 207 X 2 2 207 Pb t 1 / 2 = 7.038 億年 t_{1/2} = 7.038\text{ 億年} t 1/2 = 7.038 億年 λ 235 = 9.8485 × 10 − 10 年 − 1 \lambda_{235} = 9.8485 \times 10^{-10}\ \text{年}^{-1} λ 235 = 9.8485 × 1 0 − 10 年 − 1 X 207 X 2 2 207 P b ∗ / X 235 X 2 2 235 U \ce{^{207}Pb}^*/\ce{^{235}U} X 207 X 2 2 207 Pb ∗ / X 235 X 2 2 235 U X 206 X 2 2 206 P b ∗ / X 238 X 2 2 238 U \ce{^{206}Pb}^*/\ce{^{238}U} X 206 X 2 2 206 Pb ∗ / X 238 X 2 2 238 U ウェザリル・コンコーディア（調和）曲線 が得られる。完全な閉鎖系を保った試料は曲線上に一致してプロットされるが、後の熱変成で鉛の散逸を受けた試料はディスコーディア（不調和）直線 を形成し、その上側交点が初生晶出年代を、下側交点が変成イベントの年代を示す。西オーストラリア州ジャックヒルズの砕屑性ジルコンは 44.04 億年 44.04\text{ 億年} 44.04 億年
2本の鉛壊変方程式の比をとることにより、母核ウランの絶対濃度を測定する必要性が解消される：X 207 X 2 2 207 P b ∗ X 206 X 2 2 206 P b ∗ = X 235 X 2 2 235 U X 238 X 2 2 238 U ( e λ 235 t − 1 e λ 238 t − 1 ) = 1 137.88 ( e λ 235 t − 1 e λ 238 t − 1 ) \frac{\ce{^{207}Pb}^*}{\ce{^{206}Pb}^*} = \frac{\ce{^{235}U}}{\ce{^{238}U}}\left(\frac{e^{\lambda_{235} t} - 1}{e^{\lambda_{238} t} - 1}\right) = \frac{1}{137.88}\left(\frac{e^{\lambda_{235} t} - 1}{e^{\lambda_{238} t} - 1}\right) X 206 X 2 2 206 Pb ∗ X 207 X 2 2 207 Pb ∗ = X 238 X 2 2 238 U X 235 X 2 2 235 U ( e λ 238 t − 1 e λ 235 t − 1 ) = 137.88 1 ( e λ 238 t − 1 e λ 235 t − 1 ) X 238 X 2 2 238 U / X 235 X 2 2 235 U \ce{^{238}U/^{235}U} X 238 X 2 2 238 U / X 235 X 2 2 235 U F e S \ce{FeS} FeS 45.5 ± 0.7 億年 45.5 \pm 0.7\text{ 億年} 45.5 ± 0.7 億年 45.4 億年 45.4\text{ 億年} 45.4 億年 45.67 億年 45.67\text{ 億年} 45.67 億年
歴史メモ
1905年、アーネスト・ラザフォードは放射性崩壊が地質学的年代計として機能することを提案し、ウラン-ヘリウム比から数億年の鉱物年代を算出して、ケルヴィン卿による熱力学的冷却計算の限界を打破した。1913年にはフレデリック・ソディが「同位体」の概念を提唱し、同一の化学的性質をもつ元素であっても異なる原子量と崩壊経路をもち得ることを証明した。バートラム・ボルトウッドとアーサー・ホームズが初のU-Pb地質年代尺度を構築し、ウィラード・リビーは放射性炭素年代測定の開発により1960年のノーベル化学賞を受賞、クレア・パターソンが45.5億年の地球年齢を確立した。
アーネスト・ラザフォード フレデリック・ソディ
参考文献 Atmospheric Helium Three and Radiocarbon from Cosmic Radiation · W. F. Libby, 1946 Precision Measurement of Half-Lives and Specific Activities of 235U and 238U · A. H. Jaffey, K. F. Flynn, L. E. Glendenin, W. C. Bentley, A. M. Essling, 1971 The IntCal20 Northern Hemisphere Radiocarbon Age Calibration Curve (0-55 cal kBP) · P. J. Reimer et al., 2020