大学 · 15分

結晶をつくる：単位格子と充填

6つの結晶構造を回して、単位格子あたりの原子数を数え、充填の密度を比べる。

目的

各構造について Z（単位格子あたりの原子数）、配位数、充填率を求める。

器具と試薬

シミュレーションのみ。原子の大きさは最近接距離に従い、イオン結晶では2種のイオンの大きさが異なる。

手順

単純立方、体心立方、面心立方の順に選び、Z・CN・充填率を読む。
原子の大きさを 1 にして隣り合う原子を接触させ、一辺 2〜3 個の格子にして繰り返しを見る。
NaCl と CsCl（2種のイオン）、そしてダイヤモンドを見る。

観察すること

充填率：単純立方 52 %、体心立方 68 %、面心立方 74 %、ダイヤモンドはわずか 34 %。
3つの立方格子で Z = 1、2、4。NaCl は単位格子あたり Na⁺ 4個と Cl⁻ 4個で配位数 6 : 6、CsCl は 1 + 1 で 8 : 8。

解説

頂点の原子は $1/8$ 、辺上は $1/4$ 、面上は $1/2$ 、内部は $1$ と数え、合計が $Z$ になる。充填率は $Z\cdot\frac{4}{3}\pi r^3/a^3$ で、原子が最も短い接触方向で接する条件を使う：単純立方は辺に沿って（ $a = 2r$ ）、体心立方は体対角線に沿って（ $a = 4r/\sqrt3$ ）、面心立方は面対角線に沿って（ $a = 2\sqrt2\,r$ ）。ダイヤモンドは各原子が正四面体の4個の隣としか接しない（方向性のある共有結合の代償）ため隙間が多く 34 % である。このような結晶構造を測るのが X 線回折である。

実験の歴史

1912 年、マックス・フォン・ラウエは X 線が結晶で回折することを示し、X 線が波であることと固体が秩序だった原子配列であることを証明した。その翌年、W.H. ブラッグと W.L. ブラッグの父子はブラッグの法則

2d\sin\theta = n\lambda

で回折点を解釈し、NaCl を皮切りに最初の単純な構造を決定した。このシミュレーションの充填モデル — BCC、FCC、ダイヤモンド — は、彼らの回折データが初めて描き出した原子の地図そのものである。

ゆかりの化学者

ドロシー・クロウフット・ホジキンロザリンド・フランクリン