Classe 12

Demi-vie et loi de décroissance radioactive

La cinétique nucléaire : décroissance exponentielle, activité en becquerels, équations de filiation de Bateman et équilibre transitoire des générateurs de technétium.

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IntuitionIntuition : une horloge façonnée par le pur hasard

Imaginez que l’on lance dix mille pièces de monnaie chaque minute, en retirant toutes celles qui tombent sur pile. En une minute, la moitié disparaît pour n’en laisser que cinq mille. À la minute suivante, la moitié restante s’évanouit, ne laissant que deux mille cinq cents pièces. Aucune pièce ne peut prédire l’instant où elle fera pile, et une pièce ayant survécu dix minutes n’a pas plus de chances de faire pile qu’une pièce neuve. Les noyaux radioactifs obéissent exactement à ce processus sans mémoire : chaque noyau instable possède une probabilité de désintégration par seconde invariable, indépendamment de son passé.

Comme la matière macroscopique renferme un nombre astronomique de noyaux—un seul microgramme d’isotope contient des milliers de milliards d’atomes—cet aléa microscopique se moyenne en une loi exponentielle remarquablement lisse et prévisible. Le nombre de noyaux survivants est divisé par deux à chaque intervalle fixe appelé demi-vie. Qu’il s’agisse d’un traceur médical décroissant en quelques heures ou de l’uranium mesurant l’âge géologique sur des milliards d’années, la décroissance exponentielle offre à la science un chronomètre atomique absolu.

Spectre interactif de décroissance. Observez la division par deux exponentielle générique (jeu 0), la cinétique père–fils du générateur médical ⁹⁹Mo/⁹⁹ᵐTc culminant vers 23 heures (jeu 1) et les repères millénaires de décroissance du carbone 14 (jeu 2).

ScolaireNotions fondamentales : demi-vie, constante de désintégration et activité

Définition: Loi de décroissance radioactive et activité

La vitesse de désintégration $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$ d’un radionucléide est proportionnelle au nombre de noyaux radioactifs $N(t)$ présents : $-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \lambda N$ , où $\lambda$ est la constante radioactive ( $\text{s}^{-1}$ ). L’intégration donne $N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 2^{-t / t_{1/2}}$ . La demi-vie $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}69315}{\lambda}$ est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initiaux se désintègre. L’activité $A(t) = \lambda N(t) = A_0 \mathrm{e}^{-\lambda t}$ quantifie le nombre de désintégrations par seconde, exprimée en becquerels ( $1\text{ Bq} = 1\text{ désintégration/s}$ ) ou en curies ( $1\text{ Ci} = 3{,}7 \times 10^{10}\text{ Bq}$ ).

N(t) = N_0 \mathrm{e}^{-\lambda t} = N_0 \, 2^{-t / t_{1/2}}, \qquad A(t) = \lambda N(t), \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}, \qquad \tau = \frac{1}{\lambda} \approx 1.4427 \, t_{1/2}

Radionucléides représentatifs et leurs demi-vies
Nucléide	Demi-vie	Mode de désintégration	Application pratique
$\ce{^{14}_6C}$	5730 ans	$\beta^-$	Datation par le carbone 14 d’artefacts organiques
$\ce{^{131}_{53}I}$	8,02 jours	$\beta^-, \gamma$	Radiothérapie ciblée et imagerie de la glande thyroïde
$\ce{^{99m}_{43}Tc}$	6,01 heures	Transition isomérique ( $\gamma, 140{,}5\text{ keV}$ )	Imagerie médicale diagnostique TEMP (SPECT)
$\ce{^{60}_{27}Co}$	5,27 ans	$\beta^-, \gamma$	Stérilisation industrielle et radiothérapie externe
$\ce{^{137}_{55}Cs}$	30,1 ans	$\beta^-, \gamma$	Traçage environnemental et étalonnage en laboratoire
$\ce{^{226}_{88}Ra}$	environ 1600 ans	$\alpha, \gamma$	Étalon historique du curie et curiethérapie précoce
$\ce{^{238}_{92}U}$	4,47 milliards d’années	$\alpha$	Géochronologie planétaire et combustible des réacteurs

Exemple: Datation au carbone 14 et calcul de fraction résiduelle

Un objet archéologique en bois présente une activité en $^{14}\text{C}$ égale à $25\%$ de celle d’un bois vivant contemporain ( $t_{1/2} = 5730\text{ ans}$ ). Déterminer le nombre de demi-vies écoulées et en déduire l’âge de l’artefact. Calculer en outre le nombre de demi-vies nécessaires pour que l’activité tombe sous $0{,}1\%$ ( $1/1000$ ) de sa valeur initiale.

Solution

Fraction résiduelle : $N/N_0 = 0{,}25 = (1/2)^2$ , donc exactement $n = 2$ demi-vies se sont écoulées. Âge de l’objet : $t = 2 \times 5730 = 11460\text{ ans}$ (environ $11{,}5$ millénaires). Pour une fraction de $1/1000$ : $(1/2)^n = 10^{-3} \implies n = \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx \frac{6{,}9078}{0{,}69315} \approx 9{,}97\text{ demi-vies}$ (environ 10 demi-vies, soit $\approx 57100\text{ ans}$ ).

Exemple: Activité d’un échantillon d’un microgramme d’iode 131

Un flacon de produit radiopharmaceutique sans entraîneur renferme $1{,}0\ \mu\text{g}$ d’iode 131 pur ( $\ce{^{131}_{53}I}$ , masse molaire $M \approx 130{,}9\text{ g/mol}$ , $t_{1/2} = 8{,}02\text{ jours}$ ). Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ , le nombre total de noyaux $N$ , et l’activité initiale en becquerels (Bq) et en gigabecquerels (GBq).

Solution

Demi-vie en secondes : $t_{1/2} = 8{,}02 \times 86400\text{ s} \approx 6{,}929 \times 10^5\text{ s}$ . Constante radioactive : $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}69315}{6{,}929 \times 10^5} \approx 1{,}000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1}$ . Nombre de noyaux : $N = \frac{1{,}0 \times 10^{-6}\text{ g}}{130{,}9\text{ g/mol}} \times 6{,}022 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} \approx 4{,}60 \times 10^{15}\text{ atomes}$ . Activité : $A = \lambda N = 1{,}000 \times 10^{-6}\text{ s}^{-1} \times 4{,}60 \times 10^{15} \approx 4{,}60 \times 10^9\text{ Bq} = 4{,}60\text{ GBq}$ (environ $124\text{ mCi}$ ).

UniversitaireNiveau universitaire : équations de Bateman et équilibres radioactifs

\frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t} = \lambda_1 N_1 - \lambda_2 N_2 \implies N_2(t) = \frac{\lambda_1}{\lambda_2 - \lambda_1} N_{1,0} \left( \mathrm{e}^{-\lambda_1 t} - \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \right), \qquad t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1}

Lorsqu’un père radioactif 1 se désintègre en un fils radioactif 2, la population du fils obéit aux équations différentielles de Bateman. Deux équilibres majeurs apparaissent selon le rapport des demi-vies : 1. Équilibre séculaire : le père a une durée de vie immensément plus longue que le fils ( $\lambda_1 \ll \lambda_2$ , comme $\ce{^{226}Ra}$ avec $t_{1/2} = 1600\text{ ans}$ et $\ce{^{222}Rn}$ avec $3{,}82\text{ jours}$ ). Après quelques demi-vies du fils, $\mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \to 0$ et l’activité du fils devient strictement égale à celle du père : $A_2(t) \to A_1(t)$ . 2. Équilibre transitoire : le père est plus durable que le fils mais sur des échelles comparables ( $\lambda_1 < \lambda_2$ , illustré par le générateur médical $\ce{^{99}Mo} \to \ce{^{99m}Tc}$ avec $65{,}94\text{ h}$ contre $6{,}01\text{ h}$ ). L’activité du fils dépasse celle du père pour culminer à $t_{\max} = \frac{\ln(\lambda_2 / \lambda_1)}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx 22{,}8\text{ h}$ (environ 23 heures), après quoi les deux décroissent au rythme du père : $A_2(t) \to \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} A_1(t) \approx 1{,}10 \, A_1(t)$ .

En radiopharmacologie et biophysique, les radionucléides administrés subissent à la fois une décroissance physique et une élimination biologique. La constante effective d’élimination est la somme directe des deux taux ( $\lambda_{\text{eff}} = \lambda_{\text{phys}} + \lambda_{\text{bio}}$ ), ce qui conduit à la relation harmonique pour la demi-vie effective : $\frac{1}{T_{\text{eff}}} = \frac{1}{T_{\text{phys}}} + \frac{1}{T_{\text{bio}}}$ . Si un nucléide se désintègre selon plusieurs voies concurrentes (désintégration branchée de constantes $\lambda_a$ et $\lambda_b$ ), la constante totale vaut $\lambda = \lambda_a + \lambda_b$ , et le rapport de branchement pour la voie $a$ est $f_a = \lambda_a / \lambda$ .

AvancéPhysique avancée : statistique de Poisson et effet tunnel quantique

Parce que les désintégrations individuelles sont des événements de Poisson indépendants au sein de populations colossales, le comptage de $N$ impulsions porte un écart-type statistique incontournable $\sigma = \sqrt{N}$ , soit une incertitude relative $\sigma / N = 1/\sqrt{N}$ . En spectrométrie bas bruit de fond ou en datation radiocarbone paléolithique, l’accumulation de comptes élevés constitue le seul moyen de maîtriser le bruit statistique. De surcroît, les constantes radioactives s’étendent sur plus de vingt ordres de grandeur. En 1928, George Gamow (ainsi que Gurney et Condon) montra que la demi-vie alpha résulte de l’effet tunnel quantique : l’agrégat alpha frappe la barrière coulombienne environ $10^{21}\text{ fois par seconde}$ , où la probabilité exponentielle de traversée $P \propto \exp[-2\pi\eta]$ fonde la loi empirique de Geiger-Nuttall, reliant un gain minime d’énergie cinétique à un effondrement spectaculaire de la demi-vie.

Références

Introductory Nuclear Physics · K. S. Krane, 1987
Radiochemistry and Nuclear Chemistry, 4th Edition · G. Choppin, J.-O. Liljenzin, J. Rydberg, C. Ekberg, 2013
Atmospheric Helium Three and Radiocarbon from Cosmic Radiation · W. F. Libby, 1946